1 . 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）．

(1)证明：平面平面AMN；
(2)记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值；
(3)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．

2 . 在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（       ）

A．1

B．

C．1或

D．或

3 . 试在①，②，③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得 面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：

如图，在四棱锥中，，底ABCD为菱形，若__________，且 ，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值.

4 . 如图，已知点P在圆柱OO₁的底面⊙O上，分别为⊙O、⊙O₁的直径，且平面．

（1）求证：；
（2）若圆柱的体积，
①求三棱锥A₁﹣APB的体积．
②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．