1 . 在直角坐标系xOy中，曲线（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线过点，分别与，交于A，B两点，求．

2 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．
（1）求半圆的参数方程和直线的直角坐标方程；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，点在半圆上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，的面积为，求的值．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，圆：与轴正半轴的交点是.若圆上一动点从开始，以的角速度逆时针做圆周运动，秒后到达点.设.

（1）若且，求函数的单调递增区间；
（2）若，，求.

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知R（x₀，y₀）是椭圆C：（a＞b＞0）上一点，从原点O向圆R：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²＝8作两条切线，分别交P、Q两点．

（1）若R点在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程；
（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k₁、k₂，求k₁•k₂；
（3）试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

5 . 记到点与直线：的“有向距离”．
（1）分别求点与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．
（2）求证：到两条相交定直线（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．
（3）利用上述（2）结论证明：曲线为双曲线，并求其虚轴长．

6 . 在直角坐标系中，曲线，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）写出曲线的极坐标方程，并写出曲线与曲线交点M的极坐标；
（2）以点M为圆心，长为半径的圆交极轴于O，Q两点，点P是曲线上的动点，求取得最大值时点P的坐标.

7 . 已知动直线与圆相切，动点到、两点的距离之和与、两点到直线的距离之和相等.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，并使为线段的中点，且轨迹上的点满足.求证：、、成等差数列.

8 . 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由.

9 . 已知椭圆Γ：的离心率为，左右焦点分别为F₁，F₂，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF₁F₂面积的最大值为4.

（1）求椭圆Γ的方程.
（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足，求证：AB＝2AD.

10 . 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线的极坐标方程为，椭圆C的参数方程为（t为参数）.若直线与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长.