1 . 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________.

2 . 唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问题．在平面直角坐标系中，军营所表示的区域为，军营附近有两条河流，，河流的方程为，河流的方程为．一位将军观望烽火之后从山脚点处出发，先到河流处饮马，再到河流处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军饮马”的总路程最短为__________．

3 . 如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是___________．
   

4 . 某镇有、两所卫生院，分别位于镇政府的西侧和东侧，都距镇政府公里，为使居民打新冠疫苗有序且不拥挤，规定：某地到院的距离小于到院距离的倍，在院打疫苗，到院的距离大于到院距离的倍，在院打疫苗，到院的距离等于到院距离的倍，在、两院都可打疫苗.则、两院都可打疫苗的点的轨迹的形状是_________，到院打疫苗的居民的最远距离为_________公里.

5 . 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．
①点到原点的最大距离是4；
②若是等腰三角形，则其周长为10；
③点的轨迹是一个圆；
④的最大值是．

6 . 已知O为原点，，若，则的最大值为_______．

7 . 对任意实数m直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4，若动点P在圆C上，则点P到原点距离的最小值为________；

8 . 被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点到两个不同定点的距离之比为常数，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，A为一动点，为两定点，且，，面积记为，若时，则______若时，则取值范围为______．

9 . 动点与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为，，，（逆时针方向），且点到，，的距离分别为，，．若，则点的轨迹是________；点到点的最大距离为________．