1 . （1）若圆的方程是，求证：过圆上一点的切线方程为.
（2）若圆的方程是，则过圆上一点的切线方程为_______，并证明你的结论.

3 . 已知椭圆的离心率为，直线交椭圆于A，两点，点为坐标原点，且的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)点是椭圆上的一个动点，过点分别作直线，与曲线相切于点，．若直线在轴、轴上的截距分别是，，证明：．

4 . 设椭圆的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.

5 . 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．