1 . 已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．

2 . 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线交抛物线于不同的两点，为坐标原点，且求证：直线恒过定点，并求出这个定点.

3 . 在平面内，已知点，动点到点的距离比到轴的距离大2，且动点是轴上方（包括轴）上的点．
(1)求动点的轨迹的方程．
(2)过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于点，（为坐标原点）求证：以线段为直径的圆经过点．

4 . 已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．

6 . 已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线，分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.

7 . 已知抛物线：上的一点到焦点F的距离为.
(1)求抛物线方程；
(2)若直线交E于S，T两点，О为坐标原点，证明.

8 . 已知动圆M过点，被y轴截得的弦长为4.
(1)求圆心M的轨迹方程；
(2)若的顶点在M的轨迹上，且点A、C关于x轴对称，直线BC经过点，求证：直线AB恒过定点.

9 . 已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线于圆分别为，，，（从上到下）．

(1)求抛物线方程并证明是定值；
(2)若，的面积比是，求直线的方程．

10 . 如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
   
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.