1 . 设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F.P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B.直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点.
(1)若b为定值，证明：为定值；
(2)若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b.

2 . 已知圆，椭圆．

(1)若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；
(2)现有如下真命题：

①过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直；

②过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．据此写出一般结论，并加以证明．

3 . 已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是的顶点．

(1)求的方程；
(2)若，，三点均在上，且，直线，，的斜率均存在，证明：直线过定点（用，表示）．

4 . 已知曲线：.
(1)若为椭圆，点是的一个焦点，点是上任意一点且的最小值为2，求；
(2)已知点，是上关于原点对称的两点，点是上与，不重合的点.在下面两个条件中选一个，判断是否存在过点的直线与交于点，，且线段的中点为，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
①直线的斜率之积为2；②直线，的斜率之积为.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.