1 . 已知椭圆的短半轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：是直角三角形．

2 . 椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.
(1)求椭圆方程；
(2)以点为圆心，半径为的圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

3 . 椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足.
①证明：为定值；
②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点.若成等差数列，求的值.

4 . 如图所示，椭圆的离心率为，且椭圆经过点，已知点，过点的动直线与椭圆相交于，两点，与关于轴对称．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：，，三点共线．

5 . 设椭圆与轴相交于、两点，（在的下方），直线与该椭圆相交于不同的两点、，直线与交于.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求证：三点共线.

6 . 已知为椭圆上的一个动点，弦，分别过左右焦点，，且当线段的中点在轴上时，．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设，，试判断是否为定值?若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．

7 . 椭圆C：的离心率为，为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，
（1）求C的方程；
（2）求证：为定值.

8 . 如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．

（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．