1 . 椭圆的右焦点为，过作圆的切线交轴于点，切点为线段的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)曲线与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.

2 . 已知椭圆方程为：，椭圆的右焦点为，离心率为，直线：与椭圆相交于、两点，且
（1）椭圆的方程及求的面积；
（2）在椭圆上是否存在一点，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的端点，的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

4 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个公共点．

5 . 已知椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上．

6 . 已知椭圆：的左焦点为，其左、右顶点为A、，椭圆与轴正半轴的交点为，的外接圆的圆心在直线上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：，是椭圆上的动点，，垂足为，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的离心率为是上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点．点关于原点的对称点为．证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形．

8 . 已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过点，单位圆的切线与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：．

9 . 已知离心率为的椭圆 上的点到左焦点 的最长距离为 ．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 ，若点 在 轴上，且使得 为 的一条内角平分线，则称点 为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点” 的坐标．

10 . 已知椭圆：的右焦点为，左顶点到点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点，斜率为的直线与椭圆交于两点，且与短轴交于点.若与的面积相等，求直线的方程.