1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值．

2 . 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，，与不重合，直线与的斜率之积为. 证明：直线过定点.

4 . 已知O为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，短轴长为，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8．
(1)求的方程；
(2)若直线l与Ω交于A，B两点，且，求|AB|的最小值；
(3)已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x²＋y²＝r²（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3．

(1)求的取值范围；
(2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为．
①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
②记与交于点，求线段长度的取值范围．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆C：的上顶点M与椭圆C的左、右焦点，构成一个等边三角形，过且垂直于，的直线与椭圆C交于D，E两点，且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P，Q是椭圆C上的两个动点，且，过点O作，交直线PQ于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．

8 . 记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.

9 . 已知椭圆C：（）过点，右焦点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小．

10 . 已知椭圆的焦距为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且满足，求的值．