1 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图):
步骤1:设圆心是,在圆内异于圆心处取一定点,记为;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点(即折叠后图中的点与点重合);
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与的交点为;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片,设点到圆心的距离为,按上述方法折纸.以线段的中点为原点,线段所在直线为轴建立平面直角坐标系,记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点,,点为轨迹上异于,,的动点,设交直线于点,连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.
(i)求证:为定值;
(ii)证明直线经过轴上的定点,并求出该定点的坐标.
步骤1:设圆心是,在圆内异于圆心处取一定点,记为;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点(即折叠后图中的点与点重合);
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与的交点为;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片,设点到圆心的距离为,按上述方法折纸.以线段的中点为原点,线段所在直线为轴建立平面直角坐标系,记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点,,点为轨迹上异于,,的动点,设交直线于点,连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.
(i)求证:为定值;
(ii)证明直线经过轴上的定点,并求出该定点的坐标.
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2 . 已知动圆经过定点,且与圆:内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为,,点为轨迹上异于,的动点,设交直线于点,连接交轨迹于点,直线,的斜率分别为,.
①求证:为定值;
②证明:直线经过轴上的定点,并求出该定点的坐标.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为,,点为轨迹上异于,的动点,设交直线于点,连接交轨迹于点,直线,的斜率分别为,.
①求证:为定值;
②证明:直线经过轴上的定点,并求出该定点的坐标.
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2024-01-11更新
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758次组卷
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11卷引用:上海奉贤区致远高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
3 . 如图,已知椭圆,矩形ABCD的顶点A,B在x轴上,C,D在椭圆上,点D在第一象限.CB的延长线交椭圆于点E,直线AE与椭圆、y轴分别交于点F、G,直线CG交椭圆于点H,DA的延长线交FH于点M.(1)设直线AE、CG的斜率分别为、,求证:为定值;
(2)求直线FH的斜率k的最小值;
(3)证明:动点M在一个定曲线上运动.
(2)求直线FH的斜率k的最小值;
(3)证明:动点M在一个定曲线上运动.
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2021-01-14更新
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3446次组卷
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11卷引用:江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题
江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题(已下线)第3章 圆锥曲线与方程(培优卷)-2021-2022学年高二数学新教材单元双测卷(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)3.1椭圆C卷江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期末数学试题(已下线)专题26 椭圆(解答题)-2021年高考数学(理)二轮复习热点题型精选精练(已下线)专题25 椭圆(解答题)-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练(新高考地区专用)(已下线)仿真系列卷(05) - 决胜2021高考数学仿真系列卷(江苏等八省新高考地区专用)(已下线)黄金卷08-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷(江苏专用)(已下线)专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线(已下线)第五篇 向量与几何 专题4 极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线(一)(已下线)拔高点突破01 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题、坎迪定理(五大题型)
4 . 已知定圆,动圆N过点且与圆M相切,记动圆的圆心N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程;
(2)已知两定点和,过B的动直线交轨迹E于P,Q两点.若直线AP的斜率为,直线AQ的斜率为,求证:为定值.
(1)求轨迹E的方程;
(2)已知两定点和,过B的动直线交轨迹E于P,Q两点.若直线AP的斜率为,直线AQ的斜率为,求证:为定值.
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5 . 已知两点、,设圆O:与x轴交于A、B两点,且动点P满足:以线段为直径的圆与圆O相内切,如图所示,记动点P的轨迹为Γ,过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点.(1)求轨迹Γ的方程;
(2)设线段的中点为Q,直线与直线相交于点R,求证:.
(2)设线段的中点为Q,直线与直线相交于点R,求证:.
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6 . 已知圆:,直线过点且与圆交于点B,C,中点为D,过中点E且平行于的直线交于点P,记P的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)坐标原点O关于,的对称点分别为,,点,关于直线的对称点分别为,,过的直线与交于点M,N,直线,相交于点Q.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值;②的面积是定值;③的面积是定值.
(1)求的方程;
(2)坐标原点O关于,的对称点分别为,,点,关于直线的对称点分别为,,过的直线与交于点M,N,直线,相交于点Q.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值;②的面积是定值;③的面积是定值.
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名校
解题方法
7 . 平面内一动点P到直线的距离,是它到定点的距离的2倍.
(1)求动点P的轨迹的方程;
(2)经过点F的直线(不与y轴重合)与轨迹相交于M,N两点,过点M作y轴平行线交直线l于点T,求证:直线过定点.
(1)求动点P的轨迹的方程;
(2)经过点F的直线(不与y轴重合)与轨迹相交于M,N两点,过点M作y轴平行线交直线l于点T,求证:直线过定点.
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2024-03-29更新
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433次组卷
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2卷引用:湖南省邵阳市邵东市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
23-24高二上·上海浦东新·期中
8 . 如图,D为圆O:上一动点,过点D分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,连接并延长至点W,使得,点W的轨迹记为曲线.(1)求曲线C的方程;
(2)若过点的两条直线,分别交曲线C于M,N两点,且,求证:直线MN过定点;
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S,直线与曲线C交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别交x轴于P,Q两点.请探究:y轴上是否存在点R,使得?若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.
(2)若过点的两条直线,分别交曲线C于M,N两点,且,求证:直线MN过定点;
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S,直线与曲线C交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别交x轴于P,Q两点.请探究:y轴上是否存在点R,使得?若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.
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2023-11-13更新
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2496次组卷
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9卷引用:上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
(已下线)上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖南省长沙市雅礼实验中学2023-2024学年高二下学期收心检测数学试题江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期3月测验数学试题江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题(一)湖北省荆州市沙市中学2024届高三下学期3月月考数学试题(已下线)微考点6-3 圆锥曲线中的定点定值问题(三大题型)(已下线)专题07 直线与圆、圆锥曲线江苏省南京航空航天大学附属高级中学2024届高三下学期期初考试数学试卷
9 . 在平面直角坐标系中,已知三点,曲线C上任意一点满足:.
(1)求曲线C的方程;
(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为.试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为时,取得最小值,求实数m的取值范围.
(1)求曲线C的方程;
(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为.试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为时,取得最小值,求实数m的取值范围.
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10 . 在平面直角坐标系中,点A在x轴上滑动,点B在y轴上滑动,A、B两点距离为3,点P满足,且点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)曲线C与x轴负半轴交于点T,过点T的直线TM,TN分别与曲线C交于M,N两点,直线的斜率分别为,且,求证:直线过定点,并求面积的最大值.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)曲线C与x轴负半轴交于点T,过点T的直线TM,TN分别与曲线C交于M,N两点,直线的斜率分别为,且,求证:直线过定点,并求面积的最大值.
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