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1 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异.”“势”即是几何体的高,“幂”是截面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线的焦点在轴上,离心率为,且过点,则双曲线的渐近线方程为______ .若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为______ .
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2 . 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥,得到了圆锥曲线,其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,已知高,底面圆的半径为4,为母线的中点,平面与底面的交线,则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为( )
A. | B. | C. | D. |
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3 . 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家,他于5世纪末提出了“幂势既同,则积不容异”的体积计算原理,即“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中,了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图).现有某火电厂的冷却塔设计图纸,其外形的双曲线方程为(),内部虚线为该双曲线的渐近线,则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________ .
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4 . 费马原理是几何光学中的一条重要定理,由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质,例如,若点是双曲线(为的两个焦点)上的一点,则在点处的切线平分.已知双曲线的左、右焦点分别为,直线为在其上一点处的切线,则下列结论中正确的是( )
A.的一条渐近线与直线相互垂直 |
B.若点在直线上,且,则(为坐标原点) |
C.直线的方程为 |
D.延长交于点,则的内切圆圆心在直线上 |
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2024-03-27更新
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536次组卷
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2卷引用:河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题
解题方法
5 . 祖暅原理也称祖氏原理,是一个涉及求几何体体积的著名数学命题,公元656年,唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术,祖暅在求球体积时,使用一个原理,“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面面积相等,则体积相等,更详细点说就是,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等,上述原理在中国被称为祖暅原理,国外同一般称之为卡瓦列利原理,已知将双曲线:与它的渐近线以及直线,围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体I,将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体II,则关于这两个旋转体叙述正确的是( )
A.由垂直于轴的平面截旋转体II,得到的截面为圆面 |
B.旋转体II的体积为 |
C.将旋转体I放入球中,则球的表面积的最小值为 |
D.旋转体I的体积为 |
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6 . 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”,后人称这条直线为“欧拉线”,直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M,且M恰为某三角形的外心,重心,垂心所成集合,若l的斜率为-1,则该双曲线的离心率可以是①,②,③,④,⑤,⑥.以上结论正确的是___________ .
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2022-03-04更新
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1468次组卷
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6卷引用:“四省八校”2022 届高三下学期开学考试理科数学试题
“四省八校”2022 届高三下学期开学考试理科数学试题安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期素养拓展2理科数学试题(已下线)专题5 求离心率运算(提升版)(已下线)专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型-5(已下线)专题23 圆锥曲线中的压轴题(选填题)-3(已下线)专题8 圆锥曲线与三角形四心问题【练】(压轴小题大全)
7 . 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线,,围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体,如图分别为的渐近线与,的交点,曲边五边形绕轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理:幂势既同,则积不容异).意思是:两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等,那么这两个几何体的体积相等),据此求得该金杯的容积是_____ .(杯壁厚度忽略不计)
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2019-04-14更新
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1013次组卷
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2卷引用:【省级联考】福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试理科数学试题
2018高三下·全国·专题练习
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8 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线的焦点在轴上,离心率为,且过点.若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_________ .
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2018-05-16更新
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1129次组卷
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4卷引用:2018年5月2018届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-理科数学
(已下线)2018年5月2018届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-理科数学山东省莱西市第一中学2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题(已下线)期末真题必刷易错60题(34个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)