1 . 已知抛物线：上的点到焦点的距离为.
(1)求点的坐标及抛物线的方程；
(2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

2 . 已知点为抛物线的焦点，定点（其中常数满足），动点在上，且的最小值为．
(1)求的方程；
(2)过作两条斜率分别为、的直线、，记与的交点为、，与的交点为、，且线段、的中点分别为、．
（i）当，且时，求面积的最小值；
（ii）当时，证明：直线恒过定点．

3 . 已知动点到点和直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为A，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论.

4 . 在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离比到点的距离大1.圆F的方程为．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过点的直线交轨迹E于M、N两点，直线OM、ON分别交圆F于A、B两点．求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

5 . 在平面直角坐标系中，曲线：和函数的图像关于点对称.
（1）函数的图像和直线交于、两点，是坐标原点，求证：；
（2）求曲线的方程；
（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线.