1 . 已知点是椭圆的焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线，，若均与椭圆相切，试在轴上确定一点，使点到的距离之积恒为1.

2 . 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

3 . 如图，已知直线与抛物线相切于点，且与轴交于点，为坐标原点，定点的坐标为.

（1）若动点满足，求点的轨迹；
（2）若过点的直线（斜率不等于零）与（1）中的轨迹交于不同的两点（在之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

4 . 在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆 的左、右顶点分别为 ，椭圆C的右焦点为F，过作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于，若线段 的长为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 是直线 上的点，直线 与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．