1 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知不经过点的直线与椭圆交于两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线与轴分别交于两点，证明：．

2 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于、两点，、分别为椭圆的左、右顶点，记与的面积分别为和，求的取值范围.

3 . 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．

4 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.

5 . 如图所示，已知椭圆的焦距为，直线被椭圆 截得的弦长为 .

(1)求椭圆 的方程；
(2)设点是椭圆 上的动点，过原点引两条射线与圆分别相切，且的斜率存在. ①试问 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线与椭圆 分别交于点，求的最大值.

6 . 已知动圆与圆外切，与圆内切．
（1）试求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．

7 . 如图所示，在中，的中点为,且，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆与边，边的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.

(1)求曲线的方程；
(2)设动直线交曲线于两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.

8 . 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明：；
（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．

9 . 已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

10 . 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．