1 . 已知椭圆，其上顶点为；
(1)若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值；
(2)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为．
(1)若三角形的面积为2，求点的坐标；
(2)若，证明：直线过定点；
(3)若，求满足的关系式．

3 . 椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，己知的周长为8，且椭圆过点．
(1)求椭圆C中的值；
(2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值．

4 . 已知椭圆的离心率为，直线截椭圆所得的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与轴交于点为粗圆上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线上），直线、分别交椭圆于两点，直线分别交直线于两点.
①设，试用表示的坐标；
②求证：为线段的中点.

6 . 已知椭圆经过点，焦距为是椭圆上不在坐标轴上的两点，且关于坐标原点对称，设点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线与的斜率分别为，求证：为定值．

7 . 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.

8 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.

9 . 已知椭圆：的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线、的斜率分别为和.
(1)求证：；
(2)若为坐标原点，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？

10 . 设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．