1 . 已知椭圆经过点，离心率为．
（）求椭圆的方程．
（）直线与椭圆交于A，两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，两点，试问在轴上是否存在一个定点使得?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

2 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
②求证：线段的长为定值.

3 . 已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(1)求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

4 . 直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.
（Ⅰ）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；
（Ⅱ）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形.

5 . 已知椭圆和圆：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

6 . 已知椭圆的的右顶点为A，离心率，过左焦点作直线与椭圆交于点P，Q，直线，分别与直线交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明以线段为直径的圆经过焦点．

7 . 已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

8 . 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线：与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，且，如图所示.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求四边形的面积的最大值．

9 . 已知椭圆两个焦点、的坐标分别为、，并且经过点，过左焦点斜率为的直线与椭圆交于，两点．设，延长、分别与椭圆交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，求点的坐标；
（3）设直线的斜率为，求证：为定值．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)若点在椭圆上，且三点共线，求证：点与点的横坐标相同.