1 . 如图，已知点是抛物线：上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为.

（Ⅰ）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；
（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值.并求出当为直角三角形时，的面积.

2 . 已知抛物线，和直线，l与、都相交，A、B、C、D为从左到右的四个交点，求证：
（1）当k固定时，为定值；
（2）当时，则.

3 . 已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.
求曲线的方程：
设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.

4 . 如图，已知抛物线 的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.

(1)若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；
(2)若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.

5 . 已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点．
(1)设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；
(2)设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．

6 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，抛物线上不同两点同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为.
（1）请分析说明两点满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；
（2）若直线与抛物线相切于点与椭圆相交于两点，与直线交于点，以为直径的圆与直线交于两点，求证：直线经过线段的中点.

7 . 已知为坐标原点，抛物线的准线与圆交于，两点，抛物线与圆交于，两点，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）动点在抛物线的准线上，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，与的交点为，且.设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

8 . 已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点.
（1）证明：线段的中点在定直线上；
（2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线.

9 . 在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y²=4x的两个交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y₃)，N(a，y₄)两点.
（1）①；②，其中k₁，k₂，k₃分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）若，求实数a的值.

10 . 抛物线：的焦点为，点在直线上，过作轴的垂线，交抛物线于点，直线与轴的交点为，当点的横坐标为时，四边形的周长为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点作抛物线的切线，切点分别为，，证明：直线过定点.