1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线l与椭圆相交于、两点，与轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，为线段的中点，若为定值，请判断直线l是否过定点，求实数的值，并说明理由.

3 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点且与椭圆相交于不同的两点，，直线与x轴交于点，是直线上异于的任意一点，当时，直线是否恒过轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．

4 . 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆P的方程；
（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；
（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．

5 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

6 . 如图所示,A,B分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.

7 . 已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

8 . 已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过右焦点（不与轴重合）且与椭圆相交于不同的两点，在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由.

9 . 已知，内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点，切于点，且均不与重合，直线相交于点.
（1）求的轨迹的方程；
（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为，是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.

10 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，且直线：被椭圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆：相切：
（i）求圆的标准方程；
（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围．