1 . 抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AP､BP分别交准线于M､N.当，点P恰好与原点O重合时，的面积为4.

（1）求抛物线C的方程；
（2）记点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若，求的最小值.

2 . 已知点F为抛物线的焦点，点，点A为抛物线C上的动点，直线(t为常数)截以为直径的圆所得的弦长为定值.
（1）求焦点F的坐标；
（2）求实数t的值；
（3）若点，过点A的直线交抛物线于另一点B，的中垂线过点D，求m的值和的面积.

3 . 如图，点在轴正半轴上，抛物线上有三个不同的点，，，使得四边形是菱形，点在第四象限.

（1）若点与坐标原点重合，求菱形的面积；
（2）求的最小值.

4 . 如图，设，，已知点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，点（不同于原点）在抛物线上，不平行于轴，且与抛物线有且只有一个公共点．当t=时，．

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，分别与轴交于，，设，和的面积分别为，，，求的最大值．

5 . 如图，设抛物线：，：.点是第三象限内抛物线上的动点，是抛物线与轴正半轴的交点.过点作抛物线的两条切线，记切点分别为，，射线，分别与抛物线交于点，，且点在第四象限内.

（1）证明：；
（2）求五边形面积的最大值.

6 . 已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图．

（1）若（为坐标原点），求的值；
（2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程．

7 . 已知直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．

（1）若抛物线的焦点坐标为，求的值；
（2）若过点的直线与抛物线的另一交点为，且，求面积的取值范围．