名校
解题方法
1 . 某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图：
和
的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用
表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望；
(2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取
且
名学生，求证：当
时，“抽取的
名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.
和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望；(2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取
且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.
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2 . 2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动．此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙．下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）．
(1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数；
(2)从2018年到2022年这5年中随机选取3年，运行列数大于1.24（单位：万列）有年，求的分布列和数学期望；
(3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为
，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为
，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为
，试判断，，的大小关系．（结论不要求证明）
| 年份 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
| 运行列数 | 0.63 | 0.82 | 1.24 | 1.5 | 1.6 |
(2)从2018年到2022年这5年中随机选取3年，运行列数大于1.24（单位：万列）有
年，求的分布列和数学期望；(3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为
，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系．（结论不要求证明）
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3 . 生成式人工智能（AIGC）工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用．为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随机抽取了100名学生，调查得到如下数据：
用频率估计概率．
(1)估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
(2)假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
(3)从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第
次
抽取的10名学生中，有
名学生经常使用生成式人工智能工具，有
名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具．将
，
，
，
，
的方差记为
，
，
，
，
，
的方差记为
，比较，的大小．（结论不要求证明）
经常使用 | 20人 |
偶尔使用 | 30人 |
从未使用 | 50人 |
(1)估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
(2)假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
(3)从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第
次抽取的10名学生中，有名学生经常使用生成式人工智能工具，有名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具．将，，，，的方差记为，，，，，的方差记为，比较，的大小．（结论不要求证明）
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名校
解题方法
4 . 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：
甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；
乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．
(1)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．
(2)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55；
乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40．
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．
(1)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．
(2)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为
、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
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23-24高二·上海·课堂例题
5 . 数据
、
、
、
的方差为
，数据
、
、、
的方差为
，若
，
，，
成立，a、b为常数，求证：
.
、、、的方差为，数据、、、的方差为，若，，，成立，a、b为常数，求证：.
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6 . 甲、乙、丙三人进行5轮的投篮比赛，每轮各投10次，其成绩（命中次数）如下：
(1)若乙比甲平均少投中2次，求
的值，甲和乙投中次数的方差分别为和，试比较和大小（结论不要求证明）；
(2)若投中一球计三分，丙平均得分为21分，方差为27，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，并说明理由.
甲投中次数 | 6 | 6 | 8 | 7 | 8 |
乙投中次数 | 6 | 5 |
| 4 | 6 |
丙投中次数 |
|
|
|
|
|
的值，甲和乙投中次数的方差分别为和，试比较和大小（结论不要求证明）；(2)若投中一球计三分，丙平均得分为21分，方差为27，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，并说明理由.
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解题方法
7 . 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
(1)世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望
；
(3)原女生组睡眠时间的样本方差为
，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
(1)世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，
表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；(3)原女生组睡眠时间的样本方差为
，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
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8 . 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；
(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为
，当
取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）
| 选考情况 | 第1门 | 第2门 | 第3门 | 第4门 | 第5门 | 第6门 |
| 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 | |
| 高一选科人数 | 80 | 70 | 35 | 20 | 35 | 60 |
| 高二选科人数 | 60 | 45 | 55 | 40 | 40 | 60 |
| 高三选科人数 | 50 | 40 | 60 | 40 | 40 | 70 |
(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；
(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为
，当取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）
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9 . 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a
表示.
(2)将甲、乙两组中阅读量超过 15本的学生称为“阅读达人”.设
，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；
(3)记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
表示.
(2)将甲、乙两组中阅读量
，从20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；(3)记甲组阅读量的方差为
.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
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名校
解题方法
10 . 某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有
两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其
指标大于1且
指标大于2的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
(3)已知产品指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：| 甲生产线 产品序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||||||||
| 指标 | 0.98 | 0.96 | 1.07 | 1.02 | 1.00 | 0.93 | 0.92 | 0.96 | 1.11 | 1.02 | ||||||||
| 指标 | 2.01 | 1.97 | 1.96 | 2.03 | 2.03 | 1.98 | 1.95 | 1.99 | 2.07 | 2.02 | ||||||||
| 乙生产线 产品序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||||||
| 指标 | 1.02 | 0.97 | 0.95 | 0.94 | 1.13 | 0.98 | 0.97 | 1.01 | ||||||||||
| 指标 | 2.01 | 2.03 | 2.15 | 1.93 | 2.01 | 2.02 | 2.19 | 2.04 | ||||||||||
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其
指标大于1且指标大于2的概率；(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示
指标大于2的产品数，估计X的数学期望；(3)已知产品
指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
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