1 . 已知集合中含有个元素，其中，，集合的含个元素的子集的个数为，即集合的含个元素的子集的个数为，集合的含个元素的子集的个数为，…记.
（1）求，；
（2）证明：.

2 . （1）求证：；
（2）求证：.

3 . 两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中.
（1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由；
（2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；
（3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由.

4 . 设为给定的大于2的正整数，集合，已知数列：，，…，满足条件：
①当时，；
②当时，.
如果对于，有，则称为数列的一个逆序对.记数列的所有逆序对的个数为.
（1）若，写出所有可能的数列；
（2）若，求数列的个数；
（3）对于满足条件的一切数列，求所有的算术平均值.

5 . 定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．
（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？
（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.

6 . 对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.
（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：（）；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证:是“趋稳数列”.

7 . 已知函数.
（1）指出的单调区间；（不要求证明）
（2）若满足，且，求证：；
（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.

8 . 设整数数列{a_n}共有2n（）项，满足，，且（）．
（1）当时，写出满足条件的数列的个数；
（2）当时，求满足条件的数列的个数．

9 . 已知数列共16项，且，记关于x的函数，，若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为15，则满足条件的数列的个数_____ .

10 . 已知数列满足，，表示不超过的最大整数（如，记，数列的前项和为）.
①若数列是公差为1的等差数列，则__________；
②若数列是公比为的等比数列，则__________．