解题方法
1 . 为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
(1)经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：
，
，
的方差为200）
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
附：
，
， 
表一
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 学习时间x | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| 数学成绩y | 65 | 78 | 85 | 99 | 108 |
，，的方差为200）(2)基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
| 没有进步 | 有进步 | 合计 | |
| 参与周末自主学习 | 35 | 130 | 165 |
| 末参与周末自主学习 | 25 | 30 | 55 |
| 合计 | 60 | 160 | 220 |
，，  | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2 . 已知由样本数据
组成的一个样本，得到回归直线方程为
，且
，剔除一个偏离直线较大的异常点
后，得到新的回归直线经过点
.则下列说法正确的是（ ）
组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（ ）| A．相关变量 x，y具有正相关关系 |
| B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 |
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点 |
D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是 |
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3 . 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
(1)已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；
(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为
．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，
（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为
．求的最大值点
；
（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：
，
．
时间 | 2023年12月 | 2024年1月 | 2024年2月 | 2024年3月 | 2024年4月 |
月份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量y/千辆 | 14 | 15 | 16 | 18 | 19 |
(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为
．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为
．求的最大值点；（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的
作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：
，．
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名校
解题方法
4 . 某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩
与物理成绩
如下表：
数据表明与之间有较强的线性相关性.
(1)利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；
(2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为
和
，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的
列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
参考公式及数据：
，
，
，
，
，其中
.
下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
与物理成绩如下表：数学成绩 | 140 | 130 | 120 | 110 | 100 |
物理成绩 | 110 | 90 | 100 | 80 | 70 |
与之间有较强的线性相关性.(1)利用表中数据，求
关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；(2)在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为
和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？数学成绩 | 物理成绩 | 合计 | |
物理优秀 | 物理不优秀 | ||
数学优秀 | |||
数学不优秀 | |||
合计 | |||
，，，，，其中.下表是
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
5 . 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
与
（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程
中，
.
(2)现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；附：回归方程
中，.参考数据 | |||||
|
|
|
|
|
|
5215 | 2347.3 | 33.6 | 27 | 81.3 | 3.6 |
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解题方法
6 . 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
(2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶人次 | 125 | 105 | 100 | 90 | 80 |
附：
，，
（其中）
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；(2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
不礼让行人 | 礼让行人 | |
驾龄不超过2年 | 24 | 16 |
驾龄2年以上 | 26 | 24 |
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名校
解题方法
7 . 航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究．某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
参考数据：
，
，
，
(1)建立y关于x的回归模型
，根据所给数据及回归模型，求
；（精确到0.1）
(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，100台推进器中有20台报废，其中保养过的推进器占比35%．请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为推进器报废与保养有关?
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，；
飞行距离x（千公里） | 54 | 62 | 69 | 78 | 88 | 100 | 109 |
损坏零件数y（个） | 61 | 73 | 88 | 100 | 118 | 142 | 160 |
，，，(1)建立y关于x的回归模型
，根据所给数据及回归模型，求；（精确到0.1）(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，100台推进器中有20台报废，其中保养过的推进器占比35%．请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为推进器报废与保养有关?保养 | 未保养 | 合计 | |
报废 | 20 | ||
未报废 | |||
合计 | 60 | 100 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，；
| 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
解题方法
8 . 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙的脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
参考数据：
(1)根据所给数据及回归模型，求关于的回归方程（精确到
精确到1），并估算飞行距离为
时损坏零件个数；
(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中50台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比
，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关?
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
飞行距离 | 56 | 63 | 71 | 79 | 90 | 102 | 110 | 117 |
损坏零件数 | 61 | 73 | 90 | 105 | 119 | 136 | 149 | 163 |
(1)根据所给数据及回归模型，求
关于的回归方程（精确到精确到1），并估算飞行距离为时损坏零件个数；(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中50台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比
，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关?保养 | 未保养 | 合计 | |
报废 | 20 | ||
未报废 | |||
合计 | 50 | 100 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
| 0.25 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 |
| 1.323 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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9 . 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
(1)计算变量，的相关系数
（结果精确到0.01）.
(2)求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.
参考数据：
，
，
，
，
．
参考公式：相关系数
，线性回归方程的斜率
，截距.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
带货金额 | 350 | 440 | 580 | 700 | 880 |
，的相关系数（结果精确到0.01）.(2)求变量
，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.参考数据：
，，，，．参考公式：相关系数
，线性回归方程的斜率，截距.
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解题方法
10 . 新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究．从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？
参考公式与数据：
，其中，在线性回归方程中，
.
| 线上学习前成绩 | 120 | 110 | 100 | 90 | 80 |
| 线上学习后成绩 | 145 | 130 | 120 | 105 | 100 |
关于的线性回归方程；(2)针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？
| 满意人数 | 不满意人数 | 合计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 合计 |
，其中，在线性回归方程中，. | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2024-06-02更新
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525次组卷
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2卷引用：山东省济宁市名校联考2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题
