名校
解题方法
1 . 5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入
（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：
(1)利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当
时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资
元所获得的收益y近似满足
，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．
附：样本相关系数
，
回归直线方程的斜率
，截距
．
（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：| 研发投入x（亿元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 收益y（亿元） | 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；(2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资
元所获得的收益y近似满足，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．附：样本相关系数
，回归直线方程的斜率
，截距．
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2023-05-05更新
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1611次组卷
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6卷引用：河北省2023届高三模拟（一）数学试题
河北省2023届高三模拟（一）数学试题湖北省黄冈市浠水县第一中学2023届高三下学期5月五模数学试题四川省成都石室中学2023届高三高考冲刺最后一卷文科数学试题四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学（理科）试题（已下线）考点18 导数的应用--函数最值问题 2024届高考数学考点总动员（已下线）2.6 导数及其应用(优化问题、恒成立问题)（高考真题素材之十年高考）
2 . 某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y（单位：分）与每周课外阅读时间x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据（
，
），并据此求得y关于x的线性回归方程为
.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为（ ）
，），并据此求得y关于x的线性回归方程为.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为（ ）| A．70.6 | B．100 | C．106 | D．110 |
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2022-05-12更新
|
422次组卷
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2卷引用：河北省保定市2022届高三下学期二模数学试题
名校
3 . 随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设
，利用
与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有
的概率享受9折优惠，有
的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为
相关数据：
(其中
.
| 年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 使用扫码支付的人次y(单位：万人) | 5 | 12 | 16 | 19 | 21 |
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为相关数据：(其中.
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2021-06-12更新
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1654次组卷
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10卷引用：衡水金卷河北省2021届高三高考数数学模拟试题（一）
衡水金卷河北省2021届高三高考数数学模拟试题（一）甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟数学（理）试题（已下线）第18题 随机变量的分布列及期望的应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类（新高考全国Ⅰ卷）（已下线）专题09 统计与概率-备战2022年高考数学母题题源解密（新高考版）（已下线）专题四检测 计数原理、概率、离散型随机变量及其分布列、统计与成对数据的分析-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材·新高考地区专用）（已下线）押全国卷（理科）第18题 概率与统计-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二6月月考数学试题（平行班）（已下线）专题26 概率综合问题（分布列）（解答题）（理科）-2福建省福州市平潭翰英中学2022届高三下学期开学考试数学试题（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）
名校
解题方法
4 . 为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格
（单位：千元/吨）和利润
的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求关于的线性回归方程
；
（2）若每吨该农产品的成本为
千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：
，
，
.
（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品的成本为
千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：
，，.
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2020-08-17更新
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536次组卷
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25卷引用：2016届河北省石家庄市高三复习教学质量检测二理科数学试卷
2016届河北省石家庄市高三复习教学质量检测二理科数学试卷2016届河北省石家庄市高三复习教学质量检测二文科数学试卷2016届河北省石家庄市届高三下学期质量检测二理科数学试卷2016届河北省石家庄市届高三下学期质量检测二文科数学试卷湖北省枝江市第二高级中学2017届高三下学期高考模拟数学（文）试题2015-2016学年重庆一中高二下期中文科数学试卷山东省菏泽市2016--2017学年高一下学期期末联考数学试题2018年春高考数学（文）二轮专题复习训练：专题六 概率与统计、复数、算法【全国百强校】河南省南阳市第一中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）2017-2018学年下学期期末复习备考之精准复习模拟题高一数学（A卷）（第01期）黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年高二下学期期末数学（文）试题重庆市第一中学2018-2019学年高二下学期（3月）第一次月考复习题（文科）数学试题山西省阳泉市2019-2020学年高三下学期第一次（3月）教学质量检测数学（文）试题宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期中文科数学试题广东省佛山市三水区三水中学2019-2020学年高二下学期第二次统考数学试题吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二5月月考数学（文）试题河南省新乡市辉县市第二高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题吉林省白城市第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题河南省开封市五县联考2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题河南省开封市五县联考2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题云南省峨山彝族自治县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（已下线）专题36 相关关系与线性回归模型及其应用-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二12月月考数学（文）试题贵州省安顺市第三高级中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（文）试题
解题方法
5 . 下表是我国大陆地区从2013年至2019年国内生产总值（GDP）近似值（单位：万亿元人民币）的数据表格：
（Ⅰ）求关于的线性回归方程（系数精确到
）；
（Ⅱ）党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口增长为
亿人，假设到2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值的频率直方图如图所示．
以（Ⅰ）的结论为依据，预测我国在2035年底人均国民生产总值是否可以超过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值．
参考数据：
，
．
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 中国大陆地区GDP： （单位：万亿元人民币） |  |  |  |  |  |  |  |
（Ⅰ）求
关于的线性回归方程（系数精确到）；（Ⅱ）党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口增长为
亿人，假设到2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值的频率直方图如图所示．以（Ⅰ）的结论为依据，预测我国在2035年底人均国民生产总值是否可以超过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值．
参考数据：
，．参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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解题方法
6 . 下表是我国大陆地区从2013年至2019年国内生产总值（GDP）近似值（单位：万亿元人民币）的数据表格：
以为解释变量，为预报变量，若以
为回归方程，则相关指数
；若以
为回归方程，则相关指数
．
（1）判断与
哪一个更适宜作为国内生产总值（GDP）近似值关于年份代号的回归方程，并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出关于年份代号的回归方程（系数精确到）；
（3）党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口增长为亿人，假设到2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值的频率直方图如图所示．
以（2）的结论为依据，预测我国在2035年底人均国民生产总值是否可以超过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值．
参考数据：，．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 中国大陆地区GDP： （单位：万亿元人民币） | | | | | | | |
为解释变量，为预报变量，若以为回归方程，则相关指数；若以为回归方程，则相关指数．（1）判断
与哪一个更适宜作为国内生产总值（GDP）近似值关于年份代号的回归方程，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出
关于年份代号的回归方程（系数精确到）；（3）党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口增长为
亿人，假设到2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值的频率直方图如图所示．以（2）的结论为依据，预测我国在2035年底人均国民生产总值是否可以超过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值．
参考数据：
，．参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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名校
解题方法
7 . 
年
月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是
年
月
日至月
日累计确诊人数随时间变化的散点图．
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数与时间变量
的两个回归模型，根据月日至月日的数据（时间变量的值依次，
，…，
）建立模型
和
．
参考数据：其中
，
．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立关于的回归方程；
（3）以下是月
日至月
日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
（i）当月日至月
日这天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于
则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ii）年月日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施
天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.
附：对于一组数据
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
．
年月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是年月日至月日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数
与时间变量的两个回归模型，根据月日至月日的数据（时间变量的值依次，，…，）建立模型和．参考数据：其中
，． |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
（1）根据散点图判断，
和哪一个适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立
关于的回归方程；（3）以下是
月日至月日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：| 时间 | 月日 | 月 日 | 月日 | 月 日 | 月日 |
| 累计确诊人数的真实数据 |  |  |  |  |  |
（i）当
月日至月日这天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？（ii）
年月日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.附：对于一组数据
，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
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2020-06-11更新
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279次组卷
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3卷引用：2020届河北省石家庄市第二中学高三6月高考全仿真数学（文）试题
名校
解题方法
8 . 在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差（单位：分）与历史偏差（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
（1）已知与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为
，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．
附：参考公式与参考数据
，
，
，
．
（单位：分）与历史偏差（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：| 学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 数学偏差 | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 |  |  |  |
| 历史偏差 |  |  | |  |  |  |  |  |
与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为
，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．附：参考公式与参考数据
，，，．
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2020-02-09更新
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269次组卷
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6卷引用：河北省石家庄市2017届高三冲刺模考数学（文）试题
名校
9 . “工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某
从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入(单位：千元)的散点图：
（1）由散点图知，可用回归模型
拟合与的关系，试根据有关数据建立关于的回归方程；
（2）如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税.
附注：
参考数据
，
，
，
，
，
,
，其中
；取
，
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入(单位：千元)的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型
拟合与的关系，试根据有关数据建立关于的回归方程；（2）如果该
从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税.附注：
参考数据
，，，，，,，其中；取，参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计分别为,新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
| 旧个税税率表（个税起征点3500元） | 新个税税率表（个税起征点5000元） | |||
| 税缴级数 | 每月应纳税所得额（含税） =收入-个税起征点 | 税率 （%） | 每月应纳税所得额（含税） =收入一个税起征点-专项附加扣除 | 税率 （%） |
| 1 | 不超过1500元的部分 | 3 | 不超过3000元的部分 | 3 |
| 2 | 超过1500元至4500元的部分 | 10 | 超过3000元至12000元的部分 | 10 |
| 3 | 超过4500元至9000元的部分 | 20 | 超过12000元至25000元的部分 | 20 |
| 4 | 超过9000元至35000元的部分 | 25 | 超过25000元至35000元的部分 | 25 |
| 5 | 超过35000元155000元的部分 | 30 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 |
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2019-09-11更新
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669次组卷
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6卷引用：【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题
（已下线）【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题【省级联考】福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学（文）试题山西省长治市第二中学2018-2019高二下学期期中考试数学（文）试卷山西省太原市实验中学校2019-2020学年高二下学期期中数学(文)试题人教A版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第八章 单元测试卷（已下线）第8章 成对数据的统计分析（单元测试）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
10 . “关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从
年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程
，则预测年捐赠的现金大约是
年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，则预测年捐赠的现金大约是 | |  | |  |
|  | | |  |
| A．万元 | B． 万元 | C． 万元 | D．万元 |
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3500次组卷
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10卷引用：【市级联考】河北省石家庄市2019届高三5月份适应性考试数学（文科）试题
【市级联考】河北省石家庄市2019届高三5月份适应性考试数学（文科）试题西藏拉萨片八校2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文科）试题宁夏吴忠中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理科）试题福建省福州市格致中学2019-2020学年高二（下）期末数学试题安徽省六安中学2020-2021学年高三上学期开学考试数学(文)试题黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二10月月考数学试题人教B版(2019) 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 概率与统计 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型（已下线）6.3 统计案例（精练）四川省成都市成都外国语学校2024届高三上学期期中数学（理）试题四川省成都市成都外国语学校2024届高三上学期期中数学（文）试题
