名校
解题方法
1 . 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若
与
的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量与的样本相关系数
（结果精确到0.01）；
(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（
，均保留一位小数）
附：经验回归方程
，其中
，
样本相关系数
参考数据：
.
年月 | 2023年8月 | 2023年9月 | 2023年10月 | 2023年11月 | 2023年12月 | 2024年1月 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售金额 | 15.4 | 25.4 | 35.4 | 85.4 | 155.4 | 195.4 |
与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)试求变量
与的样本相关系数（结果精确到0.01）；(2)试求
关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）附：经验回归方程
，其中，样本相关系数
参考数据：
.
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2024-04-10更新
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853次组卷
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13卷引用：8.2 一元线性回归模型及其应用——课后作业（巩固版）
（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用——课后作业（巩固版）湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题山东省菏泽第一中学八一路校区2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）热点8-2 概率与统计综合（10题型+满分技巧+限时检测）（已下线）专题08 统计案例分析（讲义）（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（分层练习，7大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）【一题多变】 相关关系 回归分析（已下线）专题10.1 概率与统计的综合运用【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2（已下线）9．1 线性回归分析（2）河北省保定市高碑店市崇德实验中学2024届高三下学期3月月考数学试题河南省名校联考2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）专题10 考前押题大猜想46-50
名校
解题方法
2 . 近年来，长安区大力发展大花卉产业，其中玫瑰既有观赏价值也能加工成食品和高档化妆品而得到环山路一带农民大面种植．已知玫瑰的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度x（单位：
）有关，现收集了玫瑰的13组观测数据，得到如下的散点图：
或
建立y关于x的回归方程，令
，
得到如下数据：
且
与
的相关系数分别为
，
，且
．
(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
(2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知玫瑰的利润z与x、y的关系为
，当x为何值时，z的预期最大．
参考数据和公式：
，
，
，对于一组数据
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
，
，相关系数
．
）有关，现收集了玫瑰的13组观测数据，得到如下的散点图：
或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：
|
|
|
| ||||
10.15 | 109.94 | 3.04 | 0.16 | ||||
|
|
|
|
| |||
13.94 |
| 11.67 | 0.21 | 21.22 | |||
与的相关系数分别为，，且．(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
(2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知玫瑰的利润z与x、y的关系为
，当x为何值时，z的预期最大．参考数据和公式：
，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
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2024-04-10更新
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1703次组卷
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19卷引用：专题8.1成对数据的统计相关性、一元线性回归模型及其应用（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）
（已下线）专题8.1成对数据的统计相关性、一元线性回归模型及其应用（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）湖北省八市2021届高三下学期3月联考数学试题（已下线）第八章 成对数据的统计分析单元测试B卷-【新高考题型】2020-2021学年高二数学下学期单元实战演练AB卷（人教A版2019）（已下线）专题2.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）广东省深圳市宝安区2022届高三上学期第一次调研（10月）数学试题（已下线）专题46 统计与统计案例-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破陕西省咸阳市武功县普集高中2021-2022学年高一宏志班下学期第一次月考数学试题广西河池市八校2021-2022学年高二下学期第一次联考数学（文）试题四川省宜宾天立学校2022-2023学年高二上学期第三学月考理科数学试题河北省石家庄市2022-2023学年高二下学期期末数学试题陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次教学质量检测数学试卷（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第二课提炼本章思想（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第三练 方法提升应用（已下线）模块四专题3重组综合练（陕西）（8+3+3+5模式）（北师大版高二）（已下线）模块一 专题1 《线性回归与相关性和独立性检验》（北师大版高二期中）B拔高卷（已下线）高二下学期第三次月考模拟卷（新题型）（范围：导数+选择性必修第三册）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2022-2023学年高二下学期期末学习效率检测数学试题（已下线）重组1 高二期末真题重组卷（河北卷）B提升卷（已下线）专题07 线性回归分析与独立性检验--高二期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）
名校
解题方法
3 . 2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元）
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
；
参考数据：
| 年份 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 综合产值 | 23.1 | 37.0 | 62.1 | 111.6 | 150.8 |
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；参考数据：
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2024-04-02更新
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786次组卷
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9卷引用：7.2成对数据的线性相关性（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）
（已下线）7.2成对数据的线性相关性（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）贵州省天柱民族中学2024届高三上学期第三次月考数学试题新疆乌鲁木齐市第六十一中学2024届高三上学期第二次月考数学（文）试题（已下线）第三节 成对数据的统计分析（第一课时） B卷素养养成卷 一轮复习点点通江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题山东省潍坊市诸城繁华中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题（已下线）专题8.4 统计分析大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）单元测试B卷——第八章 成对数据的统计分析（已下线）模块三 专题1 大题分类练（线性回归）（北师大高二）
24-25高一上·全国·课后作业
4 . 请到商场观察，选定一种随着大小（型号）不同而价格不同的商品.
（1）找出这种商品随着大小（型号）不同而价格变化的规律；
（2）根据规律预测这种商品不同大小（型号）的价格；
（3）根据规律给消费者或生产商提出建议.
在上面的解决问题过程中，做了哪些假设？为什么这样假设？
（1）找出这种商品随着大小（型号）不同而价格变化的规律；
（2）根据规律预测这种商品不同大小（型号）的价格；
（3）根据规律给消费者或生产商提出建议.
在上面的解决问题过程中，做了哪些假设？为什么这样假设？
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解题方法
5 . 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额的统计表（金额（万元））.
(1)根据统计表，
①求该公司带货金额的平均值
；
②求该公司带货金额与月份编号的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系（
，则认为与的线性相关性较强；
，则认为与的线性相关性较弱）；
(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到甲产品的件数为
，试求的分布列与期望.
附：相关系数公式
，参考数据：
，
，
，
.
（万元））.| 月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 |
| 月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 金额（万元） | 7 | 12 | 13 | 19 | 24 |
①求该公司带货金额的平均值
；②求该公司带货金额
与月份编号的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为与的线性相关性较强；，则认为与的线性相关性较弱）；(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到甲产品的件数为
，试求的分布列与期望.附：相关系数公式
，参考数据：，，，.
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2024-03-08更新
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875次组卷
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6卷引用：8.1 成对数据的统计相关性——课后作业（提升版）
（已下线）8.1 成对数据的统计相关性——课后作业（提升版）内蒙古赤峰市2024届高三上学期1.30模拟理科数学试题（已下线）专题8.1 成对数据的统计相关性【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）8.1.1变量的相关关系+8.1.2样本相关系数 第三课 知识扩展延伸（已下线）专题8.6 成对数据的统计分析全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题8.4 统计分析大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
6 . 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的
的平均浓度（单位：
）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于
的散点图，并用直线
与
将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于
与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
(2)经计算得回归方程为
，且这50天的汽车日流量的标准差
，的平均浓度的标准差
．
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足
，试推算这50天的日均浓度的平均数
．（精确到0.1）
参考公式：
，其中
．
回归方程
，其中
．
相关系数
． 若
，则认为与有较强的线性相关性．
（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；汽车日流量 | 汽车日流量 | 合计 | |
的平均浓度 | |||
的平均浓度 | |||
| 合计 |
(2)经计算得回归方程为
，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．①求相关系数
，并判断该回归方程是否有价值；②若这50天的汽车日流量
满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1）参考公式：
，其中． | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中．相关系数
． 若，则认为与有较强的线性相关性．
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2024-03-02更新
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1024次组卷
|
13卷引用：8.3.2 独立性检验——课后作业（巩固版）
（已下线）8.3.2 独立性检验——课后作业（巩固版）上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期2月测验数学试卷（已下线）专题08 统计案例分析（讲义）（已下线）8.3 列联表与独立性检验（分层练习，6大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）9.2 独立性检验（五大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）8.3.1分类变量与列联表+8.3.2独立性检验 第三课 知识扩展延伸上海市松江二中2023-2024学年高二下学期5月考数学试卷内蒙古自治区包头市2024届高三下学期适应性考试文科数学试题（二）陕西省安康市高新中学2024届高三下学期5月适应性试题（二）文科数学试题（已下线）专题08成对数据的统计分析--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）
名校
解题方法
7 . 在政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力
某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
(1)若变量，具有线性相关关系，求产品销量
百件
关于试销单价
千元的线性回归方程；
(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与
对应的产品销量的估计值
当销售数据
对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”现从
个销售数据中任取
个，求“好数据”至少有
个的概率．
参考数据：
参考公式：线性回归方程中
，
的估计值分别为
，
某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价 |
|
|
|
|
|
|
销量 |
|
|
|
|
|
|
千元
，具有线性相关关系，求产品销量百件关于试销单价千元的线性回归方程；(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与
对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从个销售数据中任取个，求“好数据”至少有个的概率．参考数据：
参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为，
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2024-02-04更新
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673次组卷
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6卷引用：8.2 一元线性回归模型及其应用（6大题型）精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）
（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（6大题型）精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）宁夏石嘴山市第三中学2023-2024学年高三上学期期中考试文科数学试卷吉林省长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期开学测试数学试题（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（分层练习，7大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）【一题多变】 相关关系 回归分析（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用——随堂检测
名校
解题方法
8 . 我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得
，
，
，
，
，
.
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组
满足
为“I类误差”；满足
为“II类误差”；满足
为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.
附：相关系数
，
.
（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 人工测雨量 | 5.38 | 7.99 | 6.37 | 6.71 | 7.53 | 5.53 | 4.18 | 4.04 | 6.02 | 4.23 |
遥测雨量 | 5.43 | 8.07 | 6.57 | 6.14 | 7.95 | 5.56 | 4.27 | 4.15 | 6.04 | 4.49 |
 | 0.05 | 0.08 | 0.2 | 0.57 | 0.42 | 0.03 | 0.09 | 0.11 | 0.02 | 0.26 |
，，，，，.(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组
满足为“I类误差”；满足为“II类误差”；满足为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.附：相关系数
，.
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2024-01-03更新
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1705次组卷
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21卷引用：4.1 成对统计数据的相关性（同步练习）-【素养提升—课时练】2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修第二册检测 （基础篇）
（已下线）4.1 成对统计数据的相关性（同步练习）-【素养提升—课时练】2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修第二册检测 （基础篇）（已下线）8.1 成对数据的统计相关性——课后作业（提升版）江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模数学试题浙江省杭州市之江高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）模块二 专题6 相关系数与决定系数（已下线）模块七 第6套 迎接高考之必做基础热身题（ 概率与立几）专题24计数原理与概率与统计（解答题）（已下线）江苏省八市2023届高三二模数学试题变式题17-22（已下线）押新高考第19题 概率统计上海市曹杨第二中学2023届高三模拟数学试题浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）模块三 专题8 成对数据的统计分析--拔高能力练（人教A版）（已下线）模块三 专题6 统计案例--拔高能力练（北师大2019版 高二）（已下线）重难专攻(十三) 概率与统计的综合问题 B卷素养养成卷江苏省八市2023届高三下学期第二次调研测试数学试题（已下线）模块三 专题6大题分类练(统计) 拔高能力练（已下线）模块三 专题7 大题分类练（概率）拔高能力练广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（三）河北省部分学校2023-2024学年高三上学期六调考试数学试题（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（2）（已下线）专题04 概率统计大题
2023·全国·模拟预测
9 . 下列说法错误的是（ ）
| A．将列联表中的每一个数变成原来的2倍，则卡方变成原来的2倍 |
| B．两组数据相关系数r的绝对值越大，则对应的回归直线越陡 |
C．若事件A，B满足 ，则 |
D．若事件A，B满足 ，则事件A，B是对立事件 |
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名校
10 . 混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为
，
，…，
．
以成对数据的抗压强度x为横坐标，抗剪强度y为纵坐标作出散点图，如图所示．
(2)根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①
，②
．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为
，
，
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为
，
，经验回归方程①的决定系数
，求经验回归方程②的决定系数
．
附：相关系数
，决定系数
，
．
，，…，．x | 141 | 152 | 168 | 182 | 195 | 204 | 223 | 254 | 277 |
y | 23.1 | 24.2 | 27.2 | 27.8 | 28.7 | 31.4 | 32.5 | 34.8 | 36.2 |
(2)根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①
，②．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为，，．（ⅰ）求
；（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为
，，经验回归方程①的决定系数，求经验回归方程②的决定系数．附：相关系数
，决定系数，．
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2023-12-22更新
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940次组卷
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6卷引用：8.2 一元线性回归模型及其应用——课后作业（提升版）
（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用——课后作业（提升版）重庆市第八中学2024届高三高考适应性月考卷（四）数学试题（已下线）广东省深圳市深圳中学2024届高三下学期开学模拟测试数学试题（一）（已下线）第六套 九省联考全真模拟（已下线）第02讲 8.2 一元线性回归模型及其应用（知识清单+6类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）【一题多变】 相关关系 回归分析
