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解题方法
1 . 树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了
树木，某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵树木，调查得到树木根部半径
(单位：米)与树木高度
(单位：米)的相关数据如表所示：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.
参考公式：回归直线方程为
，其中
，
.
树木，某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵树木，调查得到树木根部半径(单位：米)与树木高度(单位：米)的相关数据如表所示： | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
| 1.1 | 1.3 | 1.6 | 1.5 | 2.0 | 2.1 |
关于的线性回归方程；（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某
树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.参考公式：回归直线方程为
，其中，.
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2021-06-27更新
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1499次组卷
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7卷引用：安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题
安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题黑龙江省哈尔滨市第九中学2021-2022学年高三上学期适应性考试数学文科试题（已下线）专题09 概率与统计-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（已下线）专题05 回归直线方程-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）云南省水富县云天化中学2023届高三下学期第三次质量检测数学试题广东省东莞市东莞外国语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型 第三课 知识扩展延伸
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2 . 自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共计11次累计确诊人数（万）．
（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间序号作为变量，每次累计确诊人数作为变量，得到函数关系
，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，根据相关数据，确定该函数关系式（参数
，
的取值精确到0.01）；
（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少有一人是老年人的概率．
参考公式：线性回归方程中，
，；
| 日期（月/日） | 4/09 | 5/04 | 5/29 | 6/23 | 7/18 | 8/13 |
| 统计时间序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 累计确认人数 | 43.3 | 118.8 | 179.4 | 238.8 | 377.0 | 536.0 |
| 日期（月/日） | 9/06 | 10/01 | 10/26 | 11/19 | 12/14 | |
| 统计时间序号 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 累计确认人数 | 646.0 | 744.7 | 888.9 | 1187.4 | 1673.7 |
，每次累计确诊人数作为变量，得到函数关系，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值，，，，，，，，，，根据相关数据，确定该函数关系式（参数，的取值精确到0.01）；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少有一人是老年人的概率．
参考公式：线性回归方程
中，，；
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3 . 科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力.某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品.为对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(
)(i=1，2，3，4，5，6)如表格所示：
（1）统计学认为，两个变量x､y的相关系数r的大小可表明两变量间的相关性强弱.一般地，如果|r|
[0.75，1]，那么相关性很强；如果|r|[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果|r|∈[0，0.25]，那么相关性较弱.试判断变量x､y的相关性强弱.
（2）若变量x､y线性相关时，由线性回归方程求得的与x对应的产品销售量估计值
与实际值
差的绝对值小于1时，则将销售数据称为“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.(求线性回归方程时，
精确到个位)
参考公式及数据：
，
，
， 
.
)(i=1，2，3，4，5，6)如表格所示：| 试销单价(百元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 产品销量件 | 91 | 86 | 82 | 78 | 73 | 70 |
[0.75，1]，那么相关性很强；如果|r|[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果|r|∈[0，0.25]，那么相关性较弱.试判断变量x､y的相关性强弱.（2）若变量x､y线性相关时，由线性回归方程求得的与x对应的产品销售量估计值
与实际值差的绝对值小于1时，则将销售数据称为“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.(求线性回归方程时，精确到个位)参考公式及数据：
，，， .
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解题方法
4 . 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据
盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫(
)内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：
现用
作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
参考数据(其中
)
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为
，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.
盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度
(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：| (天) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| (秒) | 990 | 990 | 450 | 320 | 300 | 240 | 210 |
作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？参考数据(其中
) |  |  |
| 1845 | 0.37 | 0.55 |
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为
，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.
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2021-05-08更新
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1070次组卷
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5卷引用：安徽省蚌埠市2021届高三下学期第三次教学质量检查理科数学试题
安徽省蚌埠市2021届高三下学期第三次教学质量检查理科数学试题广东省汕头金中、湛江一中、东莞东华、广州六中四校2023届高三下学期联考数学试题新疆克拉玛依市第一中学2020-2021学年高二6月月考数学试题（已下线）拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型） (综合）广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题
名校
解题方法
5 . 2020年，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展成效持续显现，工业和出口较快增长，投资和消费稳步恢复，就业和物价总体稳定，基本民生保障有力，国民经济持续稳定恢复.如图为2020年国家统计局发布的社会消费品零售总额增速y%(月度同比)与月份x折线图：
(社会消费品零售总额统计范围是从事商品零售活动或提供餐饮服务的法人企业､产业活动单位和个体户.)
（1）由折线图看出，4月至12月可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）根据4月至12月的数据，求y关于x的回归方程，(系数精确到0.01).
参考数据：
；参考公式：相关系数
，回归方程中斜率和截距的最小二乘法计算公式分别为：
(社会消费品零售总额统计范围是从事商品零售活动或提供餐饮服务的法人企业､产业活动单位和个体户.)
（1）由折线图看出，4月至12月可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）根据4月至12月的数据，求y关于x的回归方程，(系数精确到0.01).
参考数据：
；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法计算公式分别为：
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2021-05-07更新
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258次组卷
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2卷引用：安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷文科数学试题
名校
6 . 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1-9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：
（1）现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；
（2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
参考数据(其中)
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1-9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：| (天) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| (秒) | 990 | 990 | 450 | 320 | 300 | 240 | 210 |
作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平均速度
约为多少秒？参考数据(其中
) | | |
| 1845 | 0.37 | 0.55 |
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
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2021-05-06更新
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680次组卷
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5卷引用：安徽省蚌埠市2021届下学期高三第三次教学质量检查文科数学试题
安徽省蚌埠市2021届下学期高三第三次教学质量检查文科数学试题海南省海口市海南华侨中学2022届高三12月月考数学试题（已下线）模块二 专题5 《成对数据的统计分析》单元检测篇 A基础卷（人教A)（已下线）模块二 专题3 《统计案例》单元检测篇 A基础卷（北师大2019版)（已下线）模块二 专题4 《统计》单元检测篇 A基础卷（苏教版)
7 . 2020年合肥市GDP迈上1万亿新台阶，城市核心竞争力首次进入长江经济带TOP10，金融省会城市竞争力进入全国TOP10，合肥的发展离不开中国科学院合肥分院､中国科学技术大学等一批一流高等学校的人才支撑､科技支撑，再次验证了“科学技术是第一生产力”的科学性.下表是合肥量子通讯关键设备生产企业每月生产的一种核心产品的产量：件(
)与相应的生产总成本(万元)的四组对照数据：
研究人员建立了与的3种回归模型，利用计算机求得相应预报值结果如下：
（1）请计算3种回归模型的残差(实际值-预报值)，根据残差分析判断哪一个模型的拟合效果最好并说明理由.
（2）研究人员统计了该核心产品20个月的销售单价(万元)，得到频数分布表如下：
若以这20个月销售单价的平均值定为今后的销售单价(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，结合你对（1）的判断，当月产量为12件时，预测当月的利润(四舍五入，不保留小数).(可能用到的数据：
，
)
件()与相应的生产总成本(万元)的四组对照数据： | 5 | 7 | 9 | 11 |
| 200 | 299 | 430 | 611 |
与的3种回归模型，利用计算机求得相应预报值结果如下： | 5 | 7 | 9 | 11 |
① | 180 | 317 | 453 | 590 |
② | 215 | 287 | 416 | 617 |
③ | 203 | 294 | 426 | 618 |
（2）研究人员统计了该核心产品20个月的销售单价(万元)，得到频数分布表如下：
| 销售单价分组 |  |  |  |
| 频数 | 5 | 8 | 7 |
，)
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名校
解题方法
8 . 有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：
根据以上数据，回答下面问题.
（1）甲同学用曲线y=bx+a来拟合，并算得相关系数r1=0.97，乙同学用曲线y=cedx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r2=0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01).
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
；参考数据：
令
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
运营里程 万公里 | 1.3 | 1.6 | 1.9 | 2.2 | 2.5 | 2.9 | 3.5 | 3.9 |
（1）甲同学用曲线y=bx+a来拟合，并算得相关系数r1=0.97，乙同学用曲线y=cedx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r2=0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01).
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
；参考数据：令
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2021-04-08更新
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3458次组卷
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10卷引用：安徽省示范高中皖北协作区2021届高三下学期第23届联考数学(文)试题
安徽省示范高中皖北协作区2021届高三下学期第23届联考数学(文)试题陕西省西安中学2021届高三十模数学（文）试题（已下线）押第19题 概率统计-备战2021年高考数学(文)临考题号押题（全国卷1）（已下线）专题2.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）（已下线）专题06 非线性回归方程-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）（已下线）专题10-1 统计大题：线性和非线性回归与残差-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）陕西省宝鸡市渭滨区2022届高三下学期三模理科数学试题河北省肃宁县第一中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（已下线）第八章 成对数据的统计分析 全章题型大总结 (精讲）
9 . 人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从
(1=1024
)级别跃升到
(1=1024)，
(1=1024)乃至
(1=1024)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49，2009年数据量为0.8，2010年增长到1.2，2011年数据量更是高达1.82.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：)及相关统计量的值：
表中
，
.
（1）根据上表数据信息判断，方程
(
是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程(
精确到0.01).
（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.
参考数据：
，
，回归方程
中，斜率最小二乘法公式为
，.
(1=1024)级别跃升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49，2009年数据量为0.8，2010年增长到1.2，2011年数据量更是高达1.82.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：)及相关统计量的值：| 年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | ||||||
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||
| 年数据量 | 6.6 | 8.6 | 16.1 | 21.6 | 33.0 | 41.0 | ||||||
 |  |  |  |  |  |  | ||||||
| 3.5 | 21.15 | 2.85 | 17.58 | 13.82 | 125.35 | 6.73 | ||||||
，.（1）根据上表数据信息判断，方程
(是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程(精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.
参考数据：
，，回归方程中，斜率最小二乘法公式为，.
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2021-04-03更新
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2005次组卷
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8卷引用：安徽省合肥市2021届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题
安徽省合肥市2021届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题（已下线）专题23 概率与统计相结合问题（练）-2021年高三数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题27 概率与统计相结合问题（练）-2021年高三数学二轮复习讲练测（文理通用）陕西省咸阳市2021届高三五月数学信息专递试题（已下线）押第18题 概率与统计-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）（已下线）押第18题 概率与统计-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）（已下线）专题2.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）（已下线）专题06 非线性回归方程-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍（全国通用版）
10 . 2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(单位：
)与尺寸x(单位：
)之间近似满足关系式
(b､c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记
为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
②已知优等品的收益z(单位：千元)与x，y的关系为
，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？(精确到0.1)
附：对于样本
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，
.
)与尺寸x(单位： )之间近似满足关系式(b､c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
 |  |  |  |
| 75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
②已知优等品的收益z(单位：千元)与x，y的关系为
，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？(精确到0.1)附：对于样本
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
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2021-01-28更新
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1291次组卷
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3卷引用：安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题
安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题广东省普宁市普师高级中学2023届高三二模数学试题（已下线）专题8.1成对数据的统计相关性、一元线性回归模型及其应用（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）
