解题方法
1 . 为了了解高中学生课后自主学习数学时间(分钟/每天)和他们的数学成绩(y分)的关系,某实验小组做了调查,得到一些数据(表一).
(1)求数学成绩与学习时间的相关系数(精确到0.001);
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求出关于的回归直线方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩(参考数据:,的方差为200
(3)基于上述调查,某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后,抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计,得到列联表(表二).依据表中数据及小概率值的独立性检验,分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
附:,
.
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
学习时间 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
数学成绩 | 65 | 78 | 85 | 99 | 108 |
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求出关于的回归直线方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩(参考数据:,的方差为200
(3)基于上述调查,某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后,抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计,得到列联表(表二).依据表中数据及小概率值的独立性检验,分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步 | 有进步 | 合计 | |
参与周末在校自主学习 | 35 | 130 | 165 |
未参与周末不在校自主学习 | 25 | 30 | 55 |
合计 | 60 | 160 | 220 |
.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
2 . 将保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号,统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量,得到数组.已知,,.
(1)求样本的样本相关系数;
(2)假设该植物的寿命为随机变量(可取任意正整数),研究人员统计大量数据后发现,对于任意的,寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同,均为0.1,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
(i)求的表达式;
(ii)推导该植物寿命期望的值(用表示,取遍),并求当足够大时,的值.
附:样本相关系数;当足够大时,.
(1)求样本的样本相关系数;
(2)假设该植物的寿命为随机变量(可取任意正整数),研究人员统计大量数据后发现,对于任意的,寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同,均为0.1,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
(i)求的表达式;
(ii)推导该植物寿命期望的值(用表示,取遍),并求当足够大时,的值.
附:样本相关系数;当足够大时,.
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名校
3 . 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为年全球新能源汽车的销售量情况统计.
若与的相关关系拟用线性回归模型表示,回答如下问题:
(1)求变量与的样本相关系数(结果精确到0.01);
(2)求关于的线性回归方程,并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附:线性回归方程,其中,
样本相关系数.
参考数据:.
年份 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
年份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售量/百万辆 | 2.02 | 2.21 | 3.13 | 6.70 | 10.80 | 14.14 |
(1)求变量与的样本相关系数(结果精确到0.01);
(2)求关于的线性回归方程,并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附:线性回归方程,其中,
样本相关系数.
参考数据:.
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7日内更新
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1166次组卷
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2卷引用:陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学(文科)试题
解题方法
4 . 某公司对项目A进行投资,投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据:
(1)用相关系数说明y与x相关性的强弱(本题规定,相关系数r满足,则认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱);
(2)该公司有4位股东甲、乙、丙、丁,由于公司还有其它项目可供选择,需要股东对项目A是否投资发表意见,其中甲、乙、丙同意投资项目A的概率均为,丁同意投资的概率为,且4位股东是否同意相互独立,设4位股东同意的人数为随机变量,求随机变量的概率分布及数学期望.
参考公式:相关系数.
参考数据:统计数据表中.
项目A投资金额x(百万元) | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
所获利润y(百万元) | 0.9 | 0.8 | 0.4 | 0.2 | 0.2 |
(2)该公司有4位股东甲、乙、丙、丁,由于公司还有其它项目可供选择,需要股东对项目A是否投资发表意见,其中甲、乙、丙同意投资项目A的概率均为,丁同意投资的概率为,且4位股东是否同意相互独立,设4位股东同意的人数为随机变量,求随机变量的概率分布及数学期望.
参考公式:相关系数.
参考数据:统计数据表中.
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名校
解题方法
5 . 为丰富第二课堂,拓展素质教育,某校鼓励学生参加书法兴趣小组和绘画兴趣小组,开展相关实践活动.该校共有3000名学生,为了解学生的参加情况,从全校学生中随机抽取150名学生进行调查,发现有5人没有参加兴趣小组,且样本中仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生每周投入时间情况如下表:
(1)用频率估计概率,试估计全校学生中书法兴趣小组和绘画兴趣小组都参加的人数;
(2)从仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生中各抽1人,以X表示2人中每周投入时间大于5小时的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)根据公式计算仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生在各投入时间段人数的样本相关系数,并推断它们的相关程度,其中分别为仅参加书法兴趣小组的学生在各投入时间段人数的均值和标准差,分别为仅参加绘画兴趣小组的学生在各投入时间段人数的均值和标准差.
附:
兴趣小组活动类别 | 投入时间(小时/周) | |||
大于10 | ||||
仅参加书法兴趣小组人数z | 25 | 30 | 15 | 10 |
仅参加绘画兴趣小组人数y | 10 | 20 | 25 | 5 |
(2)从仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生中各抽1人,以X表示2人中每周投入时间大于5小时的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)根据公式计算仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生在各投入时间段人数的样本相关系数,并推断它们的相关程度,其中分别为仅参加书法兴趣小组的学生在各投入时间段人数的均值和标准差,分别为仅参加绘画兴趣小组的学生在各投入时间段人数的均值和标准差.
附:
相关系数r | |||
相关程度 | 低度线性相关 | 显著性相关 | 高度线性相关 |
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23-24高二下·全国·期末
6 . 网上购物就是通过互联网检索商品信息,并通过电子订购单发出购物请求,厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门,货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款.根据2019年中国消费者信息研究,超过的消费者更加频繁地使用网上购物,使得网上购物和送货上门的需求量激增,越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物.某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据,列表如表:
(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系?若可用,估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数;若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合,计算时精确到.
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人,再从这7人中任取3人进行奖励,求这3人取自不同天的概率;
(3)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10元;方案二,一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店一次性购买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据:.附:相关系数,回归直线方程的斜率:,.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
75 | 84 | 93 | 98 | 100 |
(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系?若可用,估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数;若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合,计算时精确到.
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人,再从这7人中任取3人进行奖励,求这3人取自不同天的概率;
(3)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10元;方案二,一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店一次性购买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据:.附:相关系数,回归直线方程的斜率:,.
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名校
解题方法
7 . 桹据统计得到某蔬菜基地茄子亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明;(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)求y关于x的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为10千克时,茄子亩产量的增加量y约为多少?
附:相关系数公式,参考数据:,回归方程中斜率的最小二乘估计公式为:.
(2)求y关于x的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为10千克时,茄子亩产量的增加量y约为多少?
附:相关系数公式,参考数据:,回归方程中斜率的最小二乘估计公式为:.
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解题方法
8 . 当今社会面临职业选择时,越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生,通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产,下面是他近5个月的家乡特产收入y(单位:万元)的情况,如表所示.
(1)根据5月至9月的数据,求y与t之间的样本相关系数(精确到0.001),并判断相关性;
(2)求出y关于t的经验回归方程(结果中保留两位小数),并预测10月收入能否突破1.5万元,请说明理由.
附:样本相关系数.一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.,,,.
月份 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
家乡特产收入y | 3 | 2.4 | 2.2 | 2 | 1.8 |
(2)求出y关于t的经验回归方程(结果中保留两位小数),并预测10月收入能否突破1.5万元,请说明理由.
附:样本相关系数.一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.,,,.
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名校
解题方法
9 . 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系,随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩,如表1:
(1)数学120分及以上记为优秀,物理80分及以上记为优秀.
(i)完成如下列联表;
(ii)依据的独立性检验,能否认为数学成绩与物理成绩有关联?
(2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本,如表2:
表2:
如图所示:以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建立直角坐标系,将表2中的成对样本数据表示为散点图,观察散点图,可以看出样本点集中在一条直线附近,由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.(i)求样本相关系数;
(ii)建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型,求经验回归方程,并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少?(四舍五入取整数)
参考公式:(1)样本相关系数.
(2)经验回归方程;.
(3),其中.
临界值表:
表1: | ||
序号 | 数学 | 物理 |
1 | 144 | 95 |
2 | 130 | 90 |
3 | 124 | 79 |
4 | 120 | 85 |
5 | 110 | 69 |
6 | 107 | 82 |
7 | 103 | 80 |
8 | 102 | 62 |
9 | 100 | 67 |
10 | 98 | 75 |
11 | 98 | 68 |
12 | 95 | 77 |
13 | 94 | 59 |
14 | 92 | 65 |
15 | 90 | 57 |
16 | 88 | 58 |
17 | 85 | 70 |
18 | 85 | 55 |
19 | 80 | 52 |
20 | 75 | 54 |
(1)数学120分及以上记为优秀,物理80分及以上记为优秀.
(i)完成如下列联表;
数学成绩 | 物理成绩 | 合计 | |
优秀 | 不优秀 | ||
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
(2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本,如表2:
表2:
数学成绩 | 130 | 110 | 100 | 85 | 75 |
物理成绩 | 90 | 69 | 67 | 70 | 54 |
(ii)建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型,求经验回归方程,并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少?(四舍五入取整数)
参考公式:(1)样本相关系数.
(2)经验回归方程;.
(3),其中.
临界值表:
0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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797次组卷
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2卷引用:吉林省长春市东北师范大学附属中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题
名校
解题方法
10 . 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富,微短剧作为一种新兴的文化载体,正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布,随机调查了200名消费者,得到如下列联表:
(1)根据小概率值的独立性检验,能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联?
(2)记2020~2024年的年份代码依次为1,2,3,4,5,下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模(单位:亿元)与的统计数据:
根据上表数据求得关于的经验回归方程为,求相关系数,并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式:,其中,.
回归方程,其中,,,相关系数.若,则认为经验回归方程有价值.
年龄不超过40岁 | 年龄超过40岁 | 合计 | |
是微短剧消费者 | 30 | 45 | |
不是微短剧消费者 | |||
合计 | 100 | 200 |
(2)记2020~2024年的年份代码依次为1,2,3,4,5,下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模(单位:亿元)与的统计数据:
年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
市场规模y | 9.4 | 36.8 | 101.7 | 373.9 | m |
参考公式:,其中,.
回归方程,其中,,,相关系数.若,则认为经验回归方程有价值.
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