解题方法
1 . 随着疫情防控政策的优化,国内演唱会市场迅速升温,一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”.小林是林俊杰的粉丝,他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站.主办方被小林的真诚打动,特为小林开辟了一个抢票通道,共100人从该通道参与抢票,每个人能抢到票的概率均,且抢票结果相互独立
(1)为保证该抢票通道不会出现故障(不存在抢到票却没有座位的人),主办方至少要为该通道预留多少张票;
(2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号,于是允许多个人帮小林一同抢票,但如果存在两个人都帮小林抢到了票(包括小林自己),则小林因为“一人多票”,无法观看演出.那么,你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由.
(1)为保证该抢票通道不会出现故障(不存在抢到票却没有座位的人),主办方至少要为该通道预留多少张票;
(2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号,于是允许多个人帮小林一同抢票,但如果存在两个人都帮小林抢到了票(包括小林自己),则小林因为“一人多票”,无法观看演出.那么,你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由.
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23-24高二·上海·课堂例题
2 . 社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答,但是被采访者常常不愿意如实做出应答.1965年,华纳(Stanley L. Warner)发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法.华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个,而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题,在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的,另一个则是无关紧要的.这样,应答者将乐意如实地回答问题,因为只有他自己知道回答的是哪个问题.例如,在调查运动员是否服用兴奋剂的时候,设计一个从袋中摸球的试验:袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球,运动员从中随意摸出1个小球.无关紧要的问题是:你摸出的小球是白色的吗?而敏感的问题是:你服用过兴奋剂吗?然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.假设用这个方法调查了200名运动员,得到56个“是”的回答,请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂.
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解题方法
3 . 商场对某种商品进行促销,顾客只要在商场中购买该商品,就可以在商场中参加抽奖活动.规则如下:先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分,然后从装有4个红球,2个白球,2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次,每次取出一个球,若为红球,则加1分,否则扣1分,过程中若顾客持有分数变为0分,抽奖结束;若顾客持有分数达到15分,则获得一等奖,抽奖结束.
(1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望;
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为;
①证明:是等差数列;
②求顾客获得一等奖的概率.
(1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望;
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为;
①证明:是等差数列;
②求顾客获得一等奖的概率.
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解题方法
4 . 某学校有A,B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中,为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数,科学备餐,该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本,收集他们在某日的就餐信息,经过整理得到如下数据:
用频率估计概率,且学生对餐厅的选择相互独立,每日用餐总人数相对稳定.
(1)若该学校共有名学生,估计每日在A餐厅用早餐的人数;
(2)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人,设表示这人中在A餐厅用餐的人数,求的分布列和数学期望;
(3)一个星期后,从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人,发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果,能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化?说明理由.
早餐 | 午餐 | 晚餐 | |
A餐厅 | 人 | 人 | 人 |
B餐厅 | 人 | 人 | 人 |
不在学校用餐 | 人 | 人 | 人 |
(1)若该学校共有名学生,估计每日在A餐厅用早餐的人数;
(2)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人,设表示这人中在A餐厅用餐的人数,求的分布列和数学期望;
(3)一个星期后,从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人,发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果,能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化?说明理由.
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名校
5 . 历史资料显示,某种疾病的患者自然痊愈率为20%.为试验一种治疗这种疾病的新药,在有关部门批准后,某医院把此药给10位患者服用,试验方案为:若这10位患者中至少有5人治好了,则认为这种药有效,提高了治愈率;否则认为这种药无效.
(1)如果新药有效,把治愈率提高到了70%,求通过试验却认定该药无效的概率p;
(2)根据p值的大小解释试验方案是否合理.
(1)如果新药有效,把治愈率提高到了70%,求通过试验却认定该药无效的概率p;
(2)根据p值的大小解释试验方案是否合理.
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6 . 在刚刚结束的杭州亚运会上,中国羽毛球队延续了传统优势项目,以4金3银2铜的成绩傲视亚洲.在旧制的羽毛球赛中,只有发球方赢得这一球才可以得分,即如果发球方在此回合的争夺中输球,则双方均不得分.但发球方输掉此回合后,下一回合改为对方发球.
(1)在旧制羽毛球赛中,中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为,且各回合相互独立.若第一回合该中国队运动员发球,求第二回合比赛有运动员得分的概率;
(2)羽毛球比赛中,先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势,给出以下假设:
假设1:各回合比赛相互独立;
假设2:比赛双方运动员甲和乙的实力相当,即每回合比赛中甲获胜的概率均为;
求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率,并说明旧制是否合理?
(1)在旧制羽毛球赛中,中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为,且各回合相互独立.若第一回合该中国队运动员发球,求第二回合比赛有运动员得分的概率;
(2)羽毛球比赛中,先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势,给出以下假设:
假设1:各回合比赛相互独立;
假设2:比赛双方运动员甲和乙的实力相当,即每回合比赛中甲获胜的概率均为;
求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率,并说明旧制是否合理?
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名校
解题方法
7 . 某商场为回馈顾客举行抽奖活动,顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球,其中有两个标有“中奖”字样,每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球,且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
(1)求顾客一次抽奖中奖的概率;
(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖,可兑取价值10元的奖品;一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖,可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次,估计兑出奖品的总价值.
(1)求顾客一次抽奖中奖的概率;
(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖,可兑取价值10元的奖品;一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖,可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次,估计兑出奖品的总价值.
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解题方法
8 . 目前,随着人们的生活节奏的加快,人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化.某公司为了了解员工上个月上、下班时两种交通工具乘坐情况,从全公司所有的员工中随机抽取了100人,发现样本中两种交通工具都不乘坐的有5人,样本中仅乘坐和仅乘坐的员工月交通费用分布情况如下:
交通费用(元) 交通工具 | 大于600 | ||
仅乘坐 | 18人 | 9人 | 3人 |
仅乘坐 | 10人 | 14人 | 1人 |
(1)从全公司员工中随机抽取1人,估计该员工上个月两种交通工具都乘坐的概率;
(2)从样本中仅乘坐和仅乘坐的员工中各随机抽取1人,以表示这2人中上个月交通费用大于400元的人数,求的分布列和数学期望;
(3)已知上个月样本中的员工乘坐交通工具方式在本月没有变化.现从样本中仅乘坐的员工中随机抽查3人,发现他们本月交通费用都大于600元.根据抽查结果,能否认为样本中仅乘坐的员工中本月交通费用大于600元的人数有变化?请说明理由.
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解题方法
9 . 根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.
(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布.
(2)在第(1)题的条件下求随机变量X的期望与方差.
(3)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件).
(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布.
(2)在第(1)题的条件下求随机变量X的期望与方差.
(3)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件).
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2023·全国·模拟预测
10 . 为落实节能减排的国家政策,某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计,随机抽取型和型设备各台,得到如下频率分布直方图.
(1)将使用寿命超过小时和不超过小时的台数填入下面的列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断使用寿命是否超过小时与型号有没有关联,说明理由.
(2)用分层抽样的方法从使用寿命不超过小时的型和型设备中共抽取台,再从这台设备中随机抽取台,设其中型设备有台,求的分布列和.
(3)现有一项工作需要台同型号设备同时工作小时才能完成,工作期间若设备损坏,则立即更换同型号设备(更换设备的时间忽略不计).型和型设备每台的价格分别为万元和万元,型和型设备每台每小时分别耗电度(度千瓦时)和度,电价为元/度.用频率估计概率,只考虑设备的成本和电费,你认为应选择哪种型号的设备?说明理由.
附:,其中.
(1)将使用寿命超过小时和不超过小时的台数填入下面的列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断使用寿命是否超过小时与型号有没有关联,说明理由.
型号 | 使用寿命 | 合计 | |
超过小时 | 不超过小时 | ||
型 | |||
型 | |||
合计 |
(2)用分层抽样的方法从使用寿命不超过小时的型和型设备中共抽取台,再从这台设备中随机抽取台,设其中型设备有台,求的分布列和.
(3)现有一项工作需要台同型号设备同时工作小时才能完成,工作期间若设备损坏,则立即更换同型号设备(更换设备的时间忽略不计).型和型设备每台的价格分别为万元和万元,型和型设备每台每小时分别耗电度(度千瓦时)和度,电价为元/度.用频率估计概率,只考虑设备的成本和电费,你认为应选择哪种型号的设备?说明理由.
附:,其中.
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