1 . 某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．
(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．

2 . 在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：

	选择甲公司直播间购物	选择乙公司直播间购物	合计
用户年龄段19—24岁	40		50
用户年龄段25—34岁		30
合计

是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点．
参考公式：，其中．
独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：

	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

3 . 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．若A，B是相互独立事件，则

D．若A，B是互斥事件，则

4 . 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为p₁，p₂．
(1)若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
(2)已知，则：
①取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？

6 . 有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（       ）

A．与为对立事件	B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件	D．与为互斥事件

8 . 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
   
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

9 . 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．至少有一个白球；都是白球	B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个	D．恰有一个白球；一个白球一个黑球

10 . 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（       ）

A．与互斥	B．
C．与对立	D．与相互独立