1 . 为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.

(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.

2 . 有一辆公交车，依次设了A，B，C，D，E，F，G共7个站，甲乙二人都从A站上车，假设他们从后面每个站下车是等可能的.
(1)求这两个人在不同站点下车的概率；
(2)求这两个人都没有坐到终点站的概率.

3 . 某班共50名学生，根据他们一次平时测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．已知分数为的矩形面积为0.16．
   
(1)求分数在内的学生人数并计算这次测试的平均成绩；
(2)以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在和范围内共抽取了5人，求从这5人中随机选取2人，这2人中至少有1人分数在内的概率．

4 . 甲、乙两台机床同时生产一种螺钉，现随机抽取这两台机床生产的螺钉各100颗进行重量检测（单位：克），检测结果统计如下：

重量区间
甲机床	7	12	45	32	4
乙机床	3	18	45	28	6
等次	四等品	三等品	一等品	二等品	四等品
品质	不合格	合格			不合格

(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的螺钉为不合格的概率；
(2)从两台机床生产的品质为合格的螺钉中，按等次采用分层抽样的方法抽取6个螺钉，从这6个中任意抽取3颗，求这3颗中至少有两颗是一等品的概率.

5 . 第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A，B，C三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是.
(1)求甲、乙至少一人通过初试的概率；
(2)若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大.

6 . 夜幕降临，华灯初上，丰富多元的夜间经济，通过夜间商业和市场，更好满足了民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富了购物体验和休闲业态．打造夜间经济，也是打造城市品牌、促进产业融合、推动消费升级的新引擎．为不断创优夜间经济发展环境，近朋，某市商务局对某热门夜市开展“服务满意度大调查”，随机邀请了100名游客填写调查问卷，对夜市服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中为非常不满意，为不满意，为一般，为基本满意，为非常满意，为完美．
   
(1)求的值及估计分位数：
(2)调查人员为了解游客对夜市服务的具体意见，对评分不足60分的调查问卷抽取2份进行细致分析，求恰好为非常不满意和不满意各一份的概率．

7 . 为了解某校任课教师年龄分布情况，现随机抽取100名教师，统计他们的年龄，并进行适当分组，绘制出如下图所示的频率分布直方图．
   
(1)求出频率分布直方图中实数a的值．根据频率分布直方图，估计该校任课教师年龄的下四分位数；（结果保留小数点后2位有效数字）
(2)根据频率分布直方图，现从年龄在内的教师中采用分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取2人分享他们的教学经验，求这2人中至少有1人年龄在内的概率．

8 . 2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，．
(1)①求第5次传球前，球恰好在手中的概率；
②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小．
(2)训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大?

9 . “盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．
(1)共有多少种不同的放法？请列举出来；
(2)求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．

10 . 数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名．
(1)若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；
(2)现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中．3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为，王同学每道试题答对的概率均为，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望．