1 . 在新高考的数学试卷中，有4道题为多项选择题，在每个试题所给的4个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
(1)若某两个多项选择题中分别有2个和3个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否符合题目要求．他每个题均随机选取了2项，记他这两题的总得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若某个多项选择题所给的四个选项中有3个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从得分均值的角度分析，你是否再随机选取1个或2个选项作为答题结果？请说明理由．

2 . 为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用表示样本中次品的件数.
(1)求的分布列（用式子表示）和均值；
(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过的概率.
参考数据：设，则，.

3 . 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.
令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.
（1）求随机变量的分布列；
（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.
令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.
（ⅰ）求随机变量的分布列；
（ⅱ）证明.

4 . 某学校高一年级上学期有3次英语素养测评，测评结果为一等奖和二等奖，已知甲同学每次测评获一等奖的概率为，乙同学每次测评获一等奖的概率为．
(1)求甲同学在3次测评中恰有1次获得一等奖且第2次测评未获得一等奖的概率；
(2)由于客观因素，这个学期第一次测评成绩作废，后两次成绩作为评价学生的依据.每次测评获得一等奖记5分，二等奖记3分，甲同学英语素养测评得分为，乙同学得分为，设随机变量，求的分布列与期望．

5 . 为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁.
(1)若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望.
(2)若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由.

6 . 甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．

7 . 某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．
(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；
(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？

8 . 2021年11月25日，南非报告发现新冠病毒突变毒株.1.1.529，26日，世界卫生组织将其命名为“奥密克戎”．传染病专家威兰德根据现有数据计算称，相比原始新冠毒株，“奥密克戎”的传染性高出5倍，而“德尔塔”仅高出70%．在最近的中非合作论坛上，中国正式宣布将再次向非洲援助冠状病毒疫苗10亿针．同时，卫生部拟从5名防疫专家中抽选人员分批次参与援助南非活动．援助活动共分3批次进行，每次援助需要同时派送2名专家，且每次派送专家均从这5人中随机抽选．已知这5名防疫专家中，2人有援非经验，3人没有援非经验．
(1)求5名防疫专家中的“甲”，在这3批次援非活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到没有援非经验专家的人数的分布列与期望．

9 . 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；
(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人．若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观费时长在[200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．

10 . 山东省教育厅颁布的《山东省普通中小学办学基本规范》中提到，保证学生在校期间每天校园体育活动时间不少于 1 小时，小明为了响应号召，缓解学习压力，计划每天利用课间进行3次体育锻炼，每次锻炼项目为跑步、跳绳、踢毽子三个项目之一，已知小明每次锻炼项目只与前一次锻炼项目有关，在前一次锻炼某项目的情况下，本次锻炼各项目的概率如下表：

前一次	本次
	跑步	跳绳	踢毽子
跑步	0.5	0.2	0.3
跳绳	0.3	0.1	0.6
踢毽子	0.3	0.6	0.1

(1)已知小明在第1次锻炼时选择了跳绳，则他在第3次锻炼时选择哪个项目的可能性最大？
(2)已知小明选择各锻炼项目每次运动时间如下表：

锻炼项目	跑步	跳绳	踢毽子
锻炼时间（分钟/次）	6	4	8

若当天小明除了3次体育锻炼和一节45分钟的体育课（户外运动）外，无其他校园体育活动时间．已知小明在第1次锻炼时选择了跳绳，求小明当天课间三次体育锻炼总时间的分布列和当天总运动时间的期望，并根据运算结果说明小明当天的运动时间是否符合《山东省普通中小学办学基本规范》的要求．