2 . 某学校举行数学学科知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，，五道题，规则为每位参赛者依次回答这五道题，每答对一题加20分，答错一题减10分；若连续答错两道题或五道题全部答完，则第一轮选拔结束．假设参赛者甲同学答对，，，，的概率分别为，，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)记为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数，求的分布列及数学期望；
(2)第一轮比赛结束后，若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分，则可进入下一轮选拔，求甲同学能进入下一轮的概率．

4 . 商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为；
①证明：是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．

5 . 某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．
(1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
(2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．

6 . 某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，
(1)现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.
附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．
②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．
③泊松分布表（局部）
表中列出了的值（如：时，

	…	0.5	0.6	0.7	…
0	…	0.606531	0.548812	0.496585	…
1	…	0.303265	0.329287	0.347610	…
2	…	0.075816	0.098786	0.121663	…
3	…	0.012636	0.019757	0.028388	…
4	…	0.001580	0.002964	0.004968	…
5	…	0.000158	0.000356	0.000696	…
6	…	0.000013	0.000036	0.000081	…
7	…	0.000001	0.000003	0.000008	…

7 . 下列说法正确的是（       ）

A．若随机变量X，Y满足，则

B．相关指数越大，残差平方和越小，回归模型拟合效果越好

C．已知，且事件与不独立，则

D．已知随机变量的均值为，方差为，常数，则

8 . 行人闯红灯对自己和他人都可能造成极大的危害，某路口监控设备连续5个月抓拍到行人闯红灯的统计数据如下.

月份序号	1	2	3	4	5
闯红灯人数	1040	980	860	770	700

(1)根据表中的数据，求关于的回归直线方程；
(2)某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人闯红灯，以这200名行人闯红灯的频率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记闯红灯的行人人数为，求.
附：回归直线方程中，，.

10 . 2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A，两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.
(1)求问题A被回答正确的概率；
(2)记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望.