1 . 甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜（后续项目不再进行比赛）．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不影响．（注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．）
(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；
(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

2 . 如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．

(1)若蚂蚁爬行次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；
(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望．

3 . 近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示．
   
(1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；
(2)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率；
(3)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在的人数为，求的分布列以及数学期望．

4 . 茄子和黄瓜是日常可见的蔬菜，种植历史悠久.某农户在自家小院前面开辟了4块大小一致且土质相同的土地，4块土地构成长方形网格状土地（共2行2列），每块土地只种植茄子、黄瓜中的一种，4块地全部种满.若每块地种植茄子的概率为，茄子种子的出芽率为95%；每块地种植黄瓜的概率为，黄瓜种子的出芽率为98%，每块土地种植哪种蔬菜互不影响，茄子与黄瓜种子是否发芽也互不影响.
(1)（i）求恰有2块地种植茄子的概率；
（ii）求每块地蔬菜种子的出芽率；
(2)若记在每列都有种植茄子的条件下，种植黄瓜的行数（该行只要有黄瓜种植即可）为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

5 . 2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
(2)现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.

6 . 现有4所学校，每校派出3名教师，这12名教师中，经过选拔挑出4名教师参加技能比赛.
(1)恰有2名教师来自同一所学校的概率；
(2)设这4名教师来自的学校个数记为，求的分布列和数学期望.

7 . 已知某小学生参加了暑期进行的游泳培训，分别学习自由泳和蛙泳，经过一周训练后，她每次自由泳训练及格的概率为，蛙泳及格的概率为．考核采用积分制，每次自由泳、蛙泳及格分别得1分、2分，不及格均得0分，每次游泳的结果相互独立．若该小学生每天进行3次考核训练，其中自由泳2次，蛙泳1次．
(1)求“该小学生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”的概率；
(2)若该小学生的总得分为X，求X的分布列和数学期望．

8 . 某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格：

	直径小于70毫米	直径不小于70毫米	合计
着色度低于90%	10	15	25
着色度不低于90%	15	60	75
合计	25	75	100

(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；
(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望．
附：

	0.050	0.025	0.010
	3.841	5.024	6.635

，其中．

9 . 2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对某高风险小区居民进行检测.
(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；
(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为，D被A或B或C感染的概率均为（D没有途径感染C），则C，D中受感染的人数X作为一个随机变量，求X的分布列及数学期望.

10 . 某校即将在十月举行一场主题为“迎国庆､展风采”的数学学科竞赛活动.决赛环节共有个必答题，假设选手小明答对每个问题的概率是，且小明答题时状态稳定，前后答题时相互之间没有影响.每道题答对得分，答错得分.记小明得分为随机变量.
(1)求的概率；
(2)求的期望和方差.