1 . 聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.

2 . 排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用5局3胜制．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．在决胜局（第五局）采用15分制，某队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是（       ）

A．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛

B．若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是

C．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为

D．已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为2或4

3 . 2023年5月31日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．
（i）选手在每个项目中投篮5次，每个项目中投中3次及以上为合格；
（ii）第一个项目投完5次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；
（iii）选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是．
(1)求选手甲参加项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加项目合格的概率为．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．

4 . 某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．

5 . 5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：
方法1：对10000个芯片逐一进行检测.
方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.
(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；
(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.
参考数据：，，.

6 . 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．
(1)若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；
(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．

7 . 小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为，且相互独立.已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.

8 . 中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的名队员按出场的先后顺序记为；日本队的名队员按出场的先后顺序记为.假设胜的概率为（为常数）.
(1)当时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰人且中国队获得擂台赛胜利的概率为，求的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率的表达式（不用说明理由）.

9 . 近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品.设该产品每个季度的收益率为，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得.若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出.则至少有3个季度的收益为正值的概率为___________.

10 . 某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作．
(1)若该系统安装了3个元件，且，求它稳定工作的概率；
(2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定．