1 . 2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对某高风险小区居民进行检测.
(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；
(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为，D被A或B或C感染的概率均为（D没有途径感染C），则C，D中受感染的人数X作为一个随机变量，求X的分布列及数学期望.

2 . 甲、乙两人在一起做猜拳（剪刀、石头、布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得分，平局时两个人都各得0分，出现得3分者游戏结束.
(1)若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得分的概率；
(2)求甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率.

3 . 同程旅游数据显示：重庆位居五一热门目的地城市第六名，这将给重庆的经济带来巨大商机.为了进一步刺激本地及外地游客的消费，当地某商场计划进行一项名为“你来抽，我就送”的活动，活动内容为：凡在该商场进行消费的顾客均有机会进行抽奖活动，在抽奖箱中有个大小相同颜色不同的球，其中红色球个，白色球个.每一位顾客均可有放回的抽三次小球，每次只能抽取一个小球，如果次均抽到白色小球，则当天该顾客免单；如果抽到次白球，则该顾客消费金额打五折；如果抽到次白球，则该顾客消费金额打八折；如果次均抽到红球，则赠送一支玫瑰花.
（1）请问某消费者每次抽到红球的概率；
（2）请问某消费者三次中有两次的抽到的球颜色都相同的概率；
（3）小王总共消费金额为元，设抽奖后实际付款金额为随机变量，求随机变量的分布列.

4 . 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为"基地学校"，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“基础站姿、滑行、转弯、停止”这4个动作技巧进行集训．规定：这4个动作中至少有3个动作达到“优秀"，则总考核记为"优秀"．在集训前，小李同学4个动作中每个动作达到“优秀”的概率为0.2，在集训后的考核中，小李同学总考核成绩为“优秀”．能否认为小李同学在集训后总考核达到“优秀”的概率发生了变化？并说明理由．

5 . 甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，比赛结束.若出现“1010”平后，先多得2分的一方为胜方.已知在每次接发球中甲获得一分的概率是（甲不得分，则乙获得一分），且在一局比赛中甲在历次的接发球是否得分相互独立.
（1）已知甲与乙的比分为“88”时，求该局比赛甲最终以比分“119”赢得比赛的概率；
（2）已知甲与乙的比分为“1010”时，
①求比分为“1111”的概率；
②随机变量X表示甲与乙最终的得分之和，求的值.

6 . 某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．

7 . 到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．在接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为已脱贫群众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

该经济农作物市场价格（元）	10	15	该经济农作物每年亩产量	400	600
概率	0.4	0.6	概率	0.25	0.75

（1）设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）已知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率．
（注：纯收入=种植收入-种植成本）