1 . 杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．
(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；
(2)①求证：数列（）是等比数列；
②求队员赢得吉祥物的概率．

2 . 聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.

3 . 设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件

4 . 新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了，提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：

月份代码	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
渗透率	29	32	34	32	33	34	36	36	36	38

(1)假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；
(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为万元，求的分布列和期望.
附：一组数据，，的线性回归直线方程的系数公式为：，

5 . 为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．

成绩区间
频数

假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．

6 . 2023年5月31日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．
（i）选手在每个项目中投篮5次，每个项目中投中3次及以上为合格；
（ii）第一个项目投完5次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；
（iii）选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是．
(1)求选手甲参加项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加项目合格的概率为．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．

7 . 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（       ）

A．当，时，

B．时，有

C．当，时，当且仅当时概率最大

D．时，随着的增大而增大

8 . 5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：
方法1：对10000个芯片逐一进行检测.
方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.
(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；
(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.
参考数据：，，.

9 . 某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.

   

(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；
(2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列.

10 . 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响．

(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?
(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并说明理由．