1 . 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为 ，每次中奖与否相互不影响. 中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.
(1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
(2)在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算? 请说明理由.

2 . 某学校在2023—2024年度体育节活动中设置了一项趣味轮滑比赛，比赛设置了2个动作项目组，其中项目组一中有3个规定动作，项目组二中有2个自选动作，比赛规则：每位运动员从2个项目组的5个动作中选择3个参赛，最后得分越多者，排名越靠前．评分规则：对于项目组一中的每个动作，若没有完成得0分，若完成得10分．对于项目组二中的动作，若没有完成得0分，若只完成1个得20分，若完成2个得50分．已知运动员甲完成项目组一中每个动作的概率均为，完成项目组二中每个动作的概率均为，且每个动作是否能完成相互独立．
(1)若运动员甲选择项目组一中的3个动作参赛，设甲的最后得分为，求的分布列与数学期望；
(2)以最后得分的数学期望为依据，判断运动员甲应选择怎样的方案参赛，请说明你的理由．

3 . 寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为．
(1)求，，的值，并证明是等比数列；
(2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望．

4 . 为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6．

(1)求和；
(2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数：

（ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．

①；

②；

（ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．

5 . 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表：

甲	区	区
投篮次数
得分

假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
(1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；
(2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；
(3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）

6 . 全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案.
(1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望.
(2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高.

7 . 年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.

   

(1)求的值
(2)求、的值
(3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：
方案一：奖励现金红包元.
方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.
求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.
附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.

方案二奖励	元	元	元
概率

8 . 某人现有10万元准备作三年投资．如果存银行取息，目前一年期利率为，第二年利率可能持平，可能调高至，也可能调低至．如果购国债，假定三年期年利率为．如果买某公司的股票，据估计，若稳定，则每年获利1万，但可能上涨，上涨后每年获利5万；也可能下跌，下跌后每年损失3万．据估计上涨（或利率调高）的概率为0.2，稳定（或持平）的概率为0.5，下跌（或利率调低）的概率为0.3．试将以上信息汇总，并进行决策．

9 . 新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．
表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．
表①                                                     

工序
概率

表②

口罩等级	100等级	99等级	95等级
利润/元

(1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；
(2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系?

10 . 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下：(1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到）
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：.附：相关系数.