1 . 对任意实数
，记
为不大于的最大整数，再记
，由此可定义函数
，进而可定义递推数列
.
(1)求
的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由).
(2)求证：①
的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同.
(3)为进一步研究各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
，记为不大于的最大整数，再记，由此可定义函数，进而可定义递推数列.(1)求
的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由).(2)求证：①
的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同.(3)为进一步研究
各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
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2 . 正整数的排列规则如图所示，其中排在第
行第
列的数记为
，例如
，则
等于（ ）
行第列的数记为，例如，则等于（ ）A． | B． | C． | D． |
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3 . 如图第1个图案的总点数记为
，第2个图案的总点数记为
，第3个图案的总点数记为
，…依此类推，第n个图案的总点数记为
，则
（ ）
，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为，…依此类推，第n个图案的总点数记为，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-01-06更新
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399次组卷
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2卷引用：天津市西青区2022-2023学年高二上学期期末数学试题
4 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列
，则下列说法正确的是（ ）
，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A． |
| B．1225既是三角形数，又是正方形数 |
C． |
D． ，总存在 ，使得 成立 |
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2023-05-23更新
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677次组卷
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7卷引用：江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题
江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期中数学试题湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(B卷)广东省韶关市武江区广东北江实验学校2022-2023学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题2 多边形数、伯努利数、斐波那契数、洛卡斯数、明安图数与卡塔兰数 微点2 多边形数综合训练黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高二下学期第三次阶段检测数学试题湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题安徽省A10联盟2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
5 . 设数列满足
，
，
(1)求，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)利用数学归纳法证明上述猜想．
满足，，(1)求
，的值，并猜想数列的通项公式；(2)利用数学归纳法证明上述猜想．
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2023-09-09更新
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287次组卷
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5卷引用：浙江省嘉兴八校联盟2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题
浙江省嘉兴八校联盟2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题（已下线）4．4 数学归纳法（2）（已下线）5.5 数学归纳法（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）（已下线）专题4.4 数学归纳法（2个考点四大题型）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）4.4数学归纳法——课后作业（巩固版）
6 . 如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第
行有个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如
，
，
……，则第8行第4个数（从左往右数）为（ ）
行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，，……，则第8行第4个数（从左往右数）为（ ）
…… |
A． | B． | C． | D． |
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7 . 生活在数字时代的我们，很多场合会用二维码（如图（1））来表示不同的信息．类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图（2），通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
(1)用树状图或列表格的方法，求图（3）可表示的不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）
(2)图（4）为
的网格图，求它可表示的不同信息的总个数；
(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用
的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，求n的最小值．
(1)用树状图或列表格的方法，求图（3）可表示的不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）
(2)图（4）为
的网格图，求它可表示的不同信息的总个数；(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用
的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，求n的最小值．
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名校
解题方法
8 . 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数
，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列满足
（
为正整数），
当
时，试确定使得
至少需要________ 步雹程；若
，则所有可能的取值集合
为________ .
，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列
满足（为正整数）， 当
时，试确定使得至少需要，则所有可能的取值集合为
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9 . 如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，…，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为
，则
__________ .
，则
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2023-03-16更新
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322次组卷
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2卷引用：上海市行知中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
10 . 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，它是由无数个正方形环绕而成.如图正方形
的边长为1，取其四边的三等分点
，
，
，
，作第二个正方形为
，然后再取正方形各边的三等分点
，
，
，
，作第三个正方形
，依次方法持续下去…，则第7个正方形的周长是______ ，如果这个作图过程可以一直继续下去，则所有这些正方形的周长之和将趋于______ .（填数值）
的边长为1，取其四边的三等分点，，，，作第二个正方形为，然后再取正方形各边的三等分点，，，，作第三个正方形，依次方法持续下去…，则第7个正方形的周长是
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