1 . 先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．
已知，且，求证：.
证明：构造函数，
则,
因为对一切，恒有,
所以,
从而得.
(1)若，请由上述结论写出关于的推广式；
(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

2 . 已知，，通过观察等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明．

3 . 观察下列各等式：，，.
(1)请选择其中的一个式子，求出a的值；
(2)分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.

4 . 已知（其中i是虚数单位）
(1)计算：，；
(2)猜想：的表达式，并用数学归纳法证明；
(3)计算：的值．

5 . 设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

6 . 已知数列中，，．
(1)求，，，的值；
(2)根据（1）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

7 . 观察下列不等式：，，，，……．
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；
(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．

8 . 已知前n项和为的正项数列中，，求，，并猜测数列的通项公式；用数学归纳法证明你的猜想.

9 . 已知为虚数单位，观察下列各等式：
；
；
；
．
记．
（1）根据以上规律，试猜想成立的等式，并加以证明；
（2）计算．

10 . 写出以下各式的值：
______；
______；
______．
结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．