1 . 对于非空集合,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”,简记为.而判断是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
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解题方法
2 . 设M是由复数组成的集合,对M的一个子集A,若存在复平面上的一个圆,使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上,且中的数对应的点都在圆外,则称A是一个M的“可分离子集”.
(1)判断是否是的“可分离子集”,并说明理由;
(2)设复数z满足,其中分别表示z的实部和虚部.证明:是的“可分离子集”当且仅当.
(1)判断是否是的“可分离子集”,并说明理由;
(2)设复数z满足,其中分别表示z的实部和虚部.证明:是的“可分离子集”当且仅当.
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3 . 分式线性变换又称为莫比乌斯变换,它是定义在复数集中形如的变换,其中w称为z的“像”,z称为w的“原像”.
(1)若,求i的“像”以及“原像”;
(2)若,,求证:的充要条件是;
(3)若,,z满足,求z的“像”在复平面上所构成图形的面积.
(1)若,求i的“像”以及“原像”;
(2)若,,求证:的充要条件是;
(3)若,,z满足,求z的“像”在复平面上所构成图形的面积.
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2022-04-25更新
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498次组卷
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2卷引用:上海交通大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
20-21高一·全国·课后作业
解题方法
4 . 已知i是虚数单位,a,b∈R,z1=a﹣1+(3﹣a)i,z2=b+(2b﹣1)i,z1=z2.
(1)求a,b的值;
(2)若z=m﹣2+(1﹣m)i,m∈R,求证:|z+a+bi|≥.
(1)求a,b的值;
(2)若z=m﹣2+(1﹣m)i,m∈R,求证:|z+a+bi|≥.
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5 . 已知复平面内点,,分别对应复数,,,其中,,,,是原点.
(1)求证:;
(2)求四边形面积的最大值.
(1)求证:;
(2)求四边形面积的最大值.
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解题方法
6 . 现有下面四个命题:
①若,则;
②若,,则;
③如果今天是2021年6月22日(星期二),那么两百天后是星期六;
④若数列满足,,则由数学归纳法可证明.
其中所有真命题的序号是( )
①若,则;
②若,,则;
③如果今天是2021年6月22日(星期二),那么两百天后是星期六;
④若数列满足,,则由数学归纳法可证明.
其中所有真命题的序号是( )
A.②④ | B.②③④ | C.②③ | D.①③ |
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2021-07-29更新
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100次组卷
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2卷引用:吉林省白城市2020-2021学年高二下学期期末数学理试题