1 . 随着航天技术的不断发展，人类宇航员可以登陆一些未知星球。一名宇航员在登陆某星球后，为了测量此星球的质量进行了如下实验：他把一小钢球托举到距星球表面的高度为h处由静止释放，计时仪器测得小钢球从释放到落回星球表面的时间为t。此前通过天文观测测得此星球的半径为R，不计小钢球下落过程中的气体阻力，可认为此星球表面的物体受到的重力等于物体与星球之间的万有引力。已知引力常量为G。
（1）求此星球的第一宇宙速度；
（2）求此星球的质量M和密度ρ；
（3）除了上述测量未知星球质量的方法外，你还能设计出什么测量星球质量的方法？请写出设计方案并对方案中所涉及到的物理量加以说明。
（4）现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起。如图所示，设某双星系统中的两星为A和B，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动。由天文观察测得其运动周期为T，A到O点的距离为r₁，A和B的距离为r，求A和B的质量。

3 . 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是．
a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为，求比值的表达式；
b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为，求比值的表达式．
（2）天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G．求此双星系统的总质量．
（3）北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣．同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去．②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，这个关系对于其他天体也是正确的．③地球的质量，引力常量．
请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）．（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

5 . 人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。
（1）开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。
开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。
（2）天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。

7 . 利用万有引力定律可以测量天体的质量。
（1）测量中心天体的质量
已知行星围绕恒星做匀速圆周运动，与恒星之间的距离为r，周期为T，引力常量为G，求恒星的质量M。
（2）测量双星的总质量：
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示。已知A、B间距离为L₀，A、B绕O点运动的周期均为T₀，引力常量为G，求A、B的总质量。
（3）通常情况下在研究月球绕地球运动时多采用（1）中的“行星-恒星”模型。已知月球表面的重力加速度为地球表面的，月球半径是地球半径的，请分析这样简化处理的合理性。

8 . 如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在拉格朗日点（如图所示）的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对地月双星系统的影响，不考虑其它天体对该系统的影响。已知：地球质量为，月球质量为，地球与月球球心距离为。则下列说法正确的是（　　）

A．位于拉格朗日点的绕点稳定运行的航天器，其向心加速度小于月球的向心加速度

B．地月双星系统的周期为

C．圆心点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比

D．拉格朗日点距月球球心的距离满足关系式

9 . 如图，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面。已知两颗恒星A、B间距为d，运动周期为T，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为（　　）

A．

B．

C．

D．

10 . 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则（　　）

A．星球A的质量一定大于星球B的质量

B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度

C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大

D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大