1 . 数学史上著名的波尔约-格维也纳定理:任意两个面积相等的多边形,它们可以通过相互拼接得到.它由法卡斯·波尔约(FarksBolyai)和保罗·格维也纳(PaulGerwien)两位数学家分别在1833年和1835年给出证明.现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形,使它们的全面积都与原平面图形的面积相等:(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),其中图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥;图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分),其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
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2 . 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,动点满足,得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数,直线与圆恒有公共点,则的取值范围是( )
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2023-05-27更新
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1063次组卷
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7卷引用:湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期高考适应性考试数学试题
湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期高考适应性考试数学试题第二章 直线和圆的方程 讲核心03(已下线)第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系(3)福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(已下线)2.5.1 直线与圆的位置关系 精练(10大题型)-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)专题09 点与圆的位置关系(期末选择题9)-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习(人教A版2019)(已下线)专题1 超级名圆 性质优先 练
3 . 刍(chú)甍(méng)是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广。刍,草也。甍,屋盖也。求积术曰:倍下表,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一。”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍甍字面意思为茅草屋顶。……”现有一个刍甍如图所示,四边形为长方形,平面,和是全等的等边三角形.
(1)求证:;
(2)若已知,求该五面体的体积.
(1)求证:;
(2)若已知,求该五面体的体积.
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4 . 我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便,对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法,如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等.下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形,若图中,,,以点C为原点,为x轴正方向.为y轴正方向,建立平面直角坐标系,以AB的中点D为圆心作圆D,使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部,则圆D的一个标准方程为
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5 . 《九章算术》是我国古代数学专著,书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图,在阳马中,平面,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求证:.
(1)求证:平面;
(2)若,求证:.
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2023-02-26更新
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1154次组卷
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4卷引用:广西2021-2022学年高二上学期12月高中学业水平考试数学试题
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6 . 《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得.”
如图,在鳖臑ABCD中,侧棱底面BCD;
(1)若,,,,求证:;
(2)若,,,试求异面直线AC与BD所成角的余弦.
(3)若,,点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.
如图,在鳖臑ABCD中,侧棱底面BCD;
(1)若,,,,求证:;
(2)若,,,试求异面直线AC与BD所成角的余弦.
(3)若,,点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.
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7 . 某校积极开展社团活动,在一次社团活动过程中,一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体,于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题,如图1,E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点,先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉,再将剩下的五边形沿着线段折起,连接就得到了一个“刍甍”(如图2).
(1)若O是四边形对角线的交点,求证:平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
(1)若O是四边形对角线的交点,求证:平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
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2023-01-11更新
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1153次组卷
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10卷引用:广西柳州市2023届高三上学期第二次模拟数学(文)试题
广西柳州市2023届高三上学期第二次模拟数学(文)试题(已下线)8.5.2 直线与平面平行 (精讲)(1)-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练(人教A版2019必修第二册)(已下线)专题06空间位置关系的判断与证明(已下线)专题13 押全国卷(文科)第18题 立体几何(已下线)专题13立体几何(解答题)四川省泸县第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题宁夏回族自治区石嘴山市2023届高三一模文科数学试题(已下线)模块一 专题1 《立体几何》单元检测篇 A基础卷(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点3 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题(三)【基础版】
8 . 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说:“取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸.规之为圆,径二寸,高二寸,又复横规之,则其形有似牟合方盖矣.”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分,计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份,取它的八分之一(如图一).记正方形OABC的边长为r,设,过P点作平面PQRS平行于平面OABC.,由勾股定理有,故此正方形PQRS面积是.如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内(如图二),不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于.(如图三)设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h,不难发现对于任何高度h,此截面面积必为,根据祖暅原理计算牟合方盖体积( )
注:祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”、意思是两个同高的立体图形,如在等高处的截面积相等,则体积相等.
注:祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”、意思是两个同高的立体图形,如在等高处的截面积相等,则体积相等.
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2023-04-27更新
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949次组卷
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11卷引用:安徽省合肥一六八中学2022届高三下学期5月最后一卷理科数学试题
安徽省合肥一六八中学2022届高三下学期5月最后一卷理科数学试题(已下线)江苏省扬州市2021-2022学年高一下学期期末适应性测试数学试题(已下线)专题22 祖暅原理(已下线)考向26空间几何体的表面积与体积(重点)-2安徽省合肥市第八中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题(已下线)高一数学下学期第二次月考02(范围:平面向量,解三角形,复数,立体几何)安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测(月考)数学试题(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】(已下线)专题突破:空间几何体的体积求法-同步题型分类归纳讲与练(人教A版2019必修第二册)(已下线)重难点专题10 轻松解决空间几何体的体积问题-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)(已下线)11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)
9 . 阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图,四棱锥P-ABCD就是阳马结构,PD⊥平面ABCD,且,,.(1)证明:平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
(2)若,求三棱锥的体积.
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2023-04-13更新
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1798次组卷
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5卷引用:广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学(文)试题
广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学(文)试题第13章 立体几何初步(B卷·能力提升)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(苏教版2019必修第二册)广东省肇庆市德庆县香山中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题河南省许昌市鄢陵县职业教育中心(升学班)2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(已下线)第六章立体几何初步章末二十种常考题型归类(2)-【帮课堂】(北师大版2019必修第二册)
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10 . 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B的距离为2,动点Р满足,若点Р不在直线AB上,则面积的最大值为( )
A.1 | B. | C.2 | D. |
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2022-11-19更新
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597次组卷
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10卷引用:安徽省六安市皖西中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题
安徽省六安市皖西中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题江苏省徐州市睢宁县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市七校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题河南省洛阳市宜阳县第一高级中学2022-2023学年高二上学期第四次月考数学文科试题河南省洛阳市宜阳县第一高级中学2022-2023学年高二上学期清北园第4次能力达标文科数学试题河南省洛阳市宜阳县第一高级中学2022-2023学年高二上学期清北园第四次能力达标检测理科数学试题江苏省南京市建邺高中2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题江苏省徐州市鼓楼区求实高中2022-2023学年高二上学期12月期中测试数学试题江苏省南京市建邺高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题