1 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________（排球的直径约为）

2 . 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆交于两点，且．求证：动直线与圆相切．

3 . 如图所示的几何体中，是菱形，，平面，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面构成的二面角的正弦值.

4 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，，为棱的中点，为棱的动点.

（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求点的位置.

5 . 如图，ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，，，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.

（1）求证：；
（2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值.

6 . 已知椭圆,其左右顶点分别为,,上下顶点分别为,.圆是以线段为直径的圆.   
(1)求圆的方程;
(2)若点,是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线,分别交轴于点､,求证:为定值;
(3)若点是椭圆Γ上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为.是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.

7 . 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．

（1）求证:;
（2）求二面角的余弦值;
（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

8 . 已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．
写出椭圆的标准方程；
当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．

9 . 如图甲，在直角梯形中，，，，过点作，垂足为，现将沿折叠，使得.取的中点，连接、、 ，如图乙.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.

10 . 如图，在三棱锥中，，二面角的大小为120°，点在棱上，且，点为的重心.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.