名校
1 . 随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设
，利用
与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有
的概率享受9折优惠，有
的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为
相关数据：
(其中
.
| 年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 使用扫码支付的人次y(单位：万人) | 5 | 12 | 16 | 19 | 21 |
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为相关数据：(其中.
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2021-06-12更新
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1654次组卷
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10卷引用：甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟数学（理）试题
甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟数学（理）试题衡水金卷河北省2021届高三高考数数学模拟试题（一）（已下线）第18题 随机变量的分布列及期望的应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类（新高考全国Ⅰ卷）（已下线）专题09 统计与概率-备战2022年高考数学母题题源解密（新高考版）（已下线）专题四检测 计数原理、概率、离散型随机变量及其分布列、统计与成对数据的分析-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材·新高考地区专用）（已下线）押全国卷（理科）第18题 概率与统计-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二6月月考数学试题（平行班）（已下线）专题26 概率综合问题（分布列）（解答题）（理科）-2福建省福州市平潭翰英中学2022届高三下学期开学考试数学试题（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）
名校
2 . 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数
与外来务工人员数
的线性回归方程为
．
（1）求
的值；
（2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取
．
| 地区A | 地区B | 地区C | 地区D | 地区E | |
| 外来务工人员数 | 5000 | 4000 | 3500 | 3000 | 2500 |
| 留在当地的人数占比 | 80% | 90% | 80% | 80% | 84% |
与外来务工人员数的线性回归方程为．（1）求
的值；（2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取
．
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2021-05-09更新
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411次组卷
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5卷引用：甘肃省白银市靖远县2021届高三第四次联考数学（文）试题
解题方法
3 . 某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的利润增长为多少？(结果保留两位小数)
（2）现从2012年-2018年这7年中抽出两年进行调查，记
=年利润增长-投资金额，求这两年都是>2(万元)的概率.
| 年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| 投资金额x(万元) | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
| 年利润增长y(万元) | 6.0 | 7.0 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
（2）现从2012年-2018年这7年中抽出两年进行调查，记
=年利润增长-投资金额，求这两年都是>2(万元)的概率.
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解题方法
4 . 以下是搜集到的某市区新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求出线性回归方程
（精确到0.1），并在散点图中加上回归直线；
（参考公式：回归方程中，
，
参考数据：
，
，
，
．）
和房屋的面积的数据：房屋面积（ ） | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
| 销售价格（万元） | 124.8 | 121.6 | 118.4 | 129.2 | 122 |
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求出线性回归方程
（精确到0.1），并在散点图中加上回归直线；（参考公式：回归方程
中，，参考数据：
，，，．）
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5 . 为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见下表：
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲，
；方程乙，
.
（1）求
(结果精确到0.01)与
的值.
（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.
①完成下表(备注：
，
称为相应于点(xi，yi)的残差)；
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
年广告投入x(万元) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年利润y(十万元) | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 |
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲，
；方程乙，.（1）求
(结果精确到0.01)与的值.（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.
①完成下表(备注：
，称为相应于点(xi，yi)的残差)；年广告投入x(万元) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
年利润y(十万元) | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 | |
模型甲 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
模型乙 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
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2020-08-07更新
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441次组卷
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4卷引用：甘肃省白银市靖远县2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题
名校
解题方法
6 . 某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示
（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）据此估计2012年该城市人口总数．
参考公式：
．
年份 （年） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 人口数（十万） | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
关于的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数．
参考公式：
．
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2020-03-20更新
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406次组卷
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11卷引用：2015-2016学年甘肃省会宁二中高二下期中文科数学试卷
2015-2016学年甘肃省会宁二中高二下期中文科数学试卷2015-2016学年北大附中河南分校高二下期中文科数学试卷宁夏六盘山高级中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题【全国校级联考】山东省济宁市微山一中、邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题【全国百强校】山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题【全国百强校】黑龙江省大庆中学2018-2019学年高二10月月考数学试题【市级联考】四川省遂宁市2018-2019学年高二上学期期末考试数学文试题【市级联考】四川省遂宁市2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题宁夏六盘山高级中学2019—2020学年高二下学期第一次月考测数学试题吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二4月月考数学（文）试题江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二12月月考理科数学试题
名校
7 . 某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率
）？
相关公式：
，
.
| x（万元） | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
| y（万元） | 8 | 10 | 13 | 17 | 22 |
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率
）？相关公式：
，.
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2020-03-04更新
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234次组卷
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7卷引用：甘肃省白银市会宁县2018-2019学年高一下学期期末数学试题
11-12高二·黑龙江大庆·期末
名校
解题方法
8 . 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据.
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；
（3）已知该厂技改前
吨甲产品的生产能耗为
吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：
，
）
（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据.
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（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程
；（3）已知该厂技改前
吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：，）
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2018-01-07更新
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762次组卷
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9卷引用：甘肃省会宁县第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题
甘肃省会宁县第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）2011-2012学年黑龙江省大庆铁人中学高二期末考试文科数学试卷内蒙古翁牛特旗乌丹第二中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题湖南省宁远县第一中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题【全国百强校】宁夏石嘴山市第三中学2017-2018学年高二上学期第二次（12月）月考数学（文）试题【全国百强校】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题河南省洛阳市第一高级中学2018-2019学年高一5月月考数学试题甘肃省张掖市2018-2019学年高一下学期期末数学试题安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题
11-12高二下·甘肃白银·期末
解题方法
9 . 对于数据组
（1）做散点图，你能直观上能得到什么结论？．
（2）求线性回归方程．
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（1）做散点图，你能直观上能得到什么结论？．
（2）求线性回归方程．
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