23-24高一下·全国·课前预习
1 . 建立平面几何与向量的联系，用_____ 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_________
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2 . 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用______ 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__________
2.通过__________ ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3.把运算结果“翻译”成几何关系．
1.建立平面几何与向量的联系，用
2.通过
3.把运算结果“翻译”成几何关系．
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3 . 通过_________ ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
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4 . 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____ 坐标减去_____ 坐标．
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5 . 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
作为基底，对于平面内的一个向量
，有且只有一对实数x，y使
，我们把有序实数对_____ 叫做向量的坐标，记作＝_______ ，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．在向量的直角坐标中
的坐标分别为
．
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y使，我们把有序实数对的坐标，记作＝在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．在向量的直角坐标中的坐标分别为．
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6 . 把一个向量分解为_____________ 的向量，叫做把向量正交分解．
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7 . 已知向量，
，
和实数λ，则：
（1）交换律：___________ ；
（2）数乘结合律：_______________ ；
（3）分配律：________________ .
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若，，均为非零向量，且
，但得不到
.
（2）
，因为
，
是数量积，是实数，不是向量，所以
与向量共线，
与向量共线，因此，
在一般情况下不成立．
（3）推论：
.
，，和实数λ，则：（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若
，，均为非零向量，且，但得不到.（2）
，因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立．（3）推论：
.
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解题方法
8 . 设，是非零向量，它们的夹角是θ，
是与方向相同的单位向量，则：
（1）
_______ ；
（2）
_____ ；
（3）当与同向时，
_____ ；当与反向时，_____ ．特别地，
___ 或
；
（4）
_____ 
；
（5）
_____ ，其中θ是非零向量与的夹角．
，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则：（1）
（2）
（3）当
与同向时，与反向时，；（4）
；（5）
与的夹角．
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9 . 若与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为||
.当θ＝0时，投影向量为____ ；当θ＝
时，投影向量为____ ；当θ＝π时，投影向量为______ .
方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为||.当θ＝0时，投影向量为时，投影向量为
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10 . 已知两个_____ 向量与，我们把数量
叫做向量与的______ (或____ )，记作，即
(
为，的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为_____ .
注意：（1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
（2）数量积的结果为数量，不再是向量；
（3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零．
与，我们把数量叫做向量与的，即(为，的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为
注意：（1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
（2）数量积的结果为数量，不再是向量；
（3）向量数量积的正负由两个向量的夹角
决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零．
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