2018·江西南昌·一模
名校
解题方法
1 . 如图直角坐标系中,角、角的终边分别交单位圆于A、B两点,若B点的纵坐标为,且满足,则的值为( )
A. | B. | C. | D. |
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2024-01-07更新
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467次组卷
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13卷引用:第18讲 三角恒等变换(练)-2022年高考数学一轮复习讲练测(课标全国版)
(已下线)第18讲 三角恒等变换(练)-2022年高考数学一轮复习讲练测(课标全国版)(已下线)第12练 三角函数的概念及诱导公式-2021年高考数学(理)一轮复习小题必刷(已下线)第11练 三角函数的概念及诱导公式-2021年高考数学(文)一轮复习小题必刷【全国市级联考】江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试六理科数学试题【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(文)试题【全国百强校】辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学(理)试题【全国百强校】山西省平遥中学2019届高三上学期11月质检数学(文)试题河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调数学(理)试题河北省衡水中学2021届高三上学期期中数学(文)试题江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024届高三上学期期末模拟数学试题(一)(已下线)【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三下学期三模试卷数学(理科)试题江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测数学试题福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期入学质量抽测数学试卷
2 . 平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)线性运算的坐标表示
(3)平面向量共线的坐标表示:设=(x1,y1),=(x2,y2),其中b≠0,向量共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)线性运算的坐标表示
文字叙述 | 符号表示 | |
加法 | 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. | 若=(x1,y1),=(x2,y2),则= |
减法 | 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. | 若=(x1,y1),=(x2,y2),则= |
两点构 成的向 量坐标 | 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. | 若A(x1,y1),B(x2,y2),则= |
数乘 | 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. | 若=(x,y),λ∈R,则= |
(3)平面向量共线的坐标表示:设=(x1,y1),=(x2,y2),其中b≠0,向量共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
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3 . 向量的数量积
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角:已知两个非零向量,,O是平面上的任意一点,作=,=(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
②向量的平行与垂直:当θ=0时,与同向;当θ=π时,与反向;如果与的夹角是,我们说与垂直,记作⊥.
③向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积(或内积),记作·,即·=||||cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义:如图,设,是两个非零向量,,,作如下的变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,则称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
②计算:设与方向相同的单位向量为,与的夹角为θ,则向量在向量上的投影向量是||cosθ.
(3)向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量,则
①·=·=||cosθ.
②⊥⇔·=0.
③当与同向时,·=||||;当与反向时,·=-||||.特别地,·=||2或||=.
④|·|≤||||.
(4)向量数量积运算的运算律对于向量,,和实数λ,有
①·=·;
②(λ)·=λ(·)=·(λ);
③(+)·=·+·.
(5)数量积的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2),则
①·=x1x2+y1y2;2=;____________ .
②⊥⇔____________ .
③
④设θ是与的夹角,则cosθ=____________ .
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角:已知两个非零向量,,O是平面上的任意一点,作=,=(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
②向量的平行与垂直:当θ=0时,与同向;当θ=π时,与反向;如果与的夹角是,我们说与垂直,记作⊥.
③向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积(或内积),记作·,即·=||||cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义:如图,设,是两个非零向量,,,作如下的变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,则称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
②计算:设与方向相同的单位向量为,与的夹角为θ,则向量在向量上的投影向量是||cosθ.
(3)向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量,则
①·=·=||cosθ.
②⊥⇔·=0.
③当与同向时,·=||||;当与反向时,·=-||||.特别地,·=||2或||=.
④|·|≤||||.
(4)向量数量积运算的运算律对于向量,,和实数λ,有
①·=·;
②(λ)·=λ(·)=·(λ);
③(+)·=·+·.
(5)数量积的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2),则
①·=x1x2+y1y2;2=;
②⊥⇔
③
④设θ是与的夹角,则cosθ=
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4 . 平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使=________ .我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使=
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5 . 向量的线性运算
运 算 | 定义 | 法则 (或几何意义) | 运算律(性质) |
加 法 | 求两个向量和的运算 | 三角形法则 平行四边形法则 | 交换律:,并规定:;结合律:;,当且仅当方向相同时等号成立 |
减 法 | 求两个向量差的运算 | ||
数 乘 | 求实数λ与向量的积的运算 | 是一个向量,其长度:|= 其方向:λ>0时,与方向 | 设λ,μ∈R,则 λ(μ)=μ(λ); (λ+μ)=λ+μ; λ(+)=λ+λ |
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6 . 向量的有关概念
名称 | 定义 | 说明 |
向量 | 在数学中,我们把既有 | 平面向量是自由向量 |
有向 线段 | 具有方向的线段叫做有向线段,向量可以用有向线段表示,也可用字母a,b,c,…表示 | 有向线段包含三个要素:起点、方向、长度 |
向量 的模 | 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作|| | 向量的模是数量 |
零向量 | 长度为 | |
单位向量 | 长度等于 | a是非零向量,则±是单位向量 |
平行向 量(共线 向量) | 方向 | 规定:零向量与任意向量平行 |
相等 向量 | 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 | 两向量可以相等也可以不相等,但不能比较大小 |
相反 向量 | 与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a | 0的相反向量仍是0 |
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解题方法
7 . 已知向量,的数量积(又称向量的点积或内积),其中表示向量,的夹角,定义向量,的向量积(又称向量的叉积或外积);,其中表示向量,的夹角,已知点,,为坐标原点,则____________ .
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2022-11-25更新
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375次组卷
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3卷引用:高考新题型-平面向量及其应用
名校
解题方法
8 . 已知D为等边所在平面内的一点,,且线段BC上存在点E,使得.
(1)试确定点E的位置,并说明理由;
(2)求的值.
(1)试确定点E的位置,并说明理由;
(2)求的值.
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2022-11-15更新
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493次组卷
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4卷引用:高考新题型-平面向量及其应用
2022高三·全国·专题练习
名校
解题方法
9 . 如图所示,鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A地在观测站正北方向,且距离观测站2公里处,B地在观测站北偏东方向,且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车(记为点M)沿着公路向正东方向行驶进行观测,记∠AMB为观测角.
(1)当观测车行驶至距观测站1公里时,求观测角∠AMB的大小;(精确到0.1°)
(2)为了确保观测质量,要求观测角∠AMB不小于45°,求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.(精确到0.1公里)
(1)当观测车行驶至距观测站1公里时,求观测角∠AMB的大小;(精确到0.1°)
(2)为了确保观测质量,要求观测角∠AMB不小于45°,求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.(精确到0.1公里)
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解题方法
10 . 定义一种向量运算“”: (,为任意向量,为向量,的夹角).已知是边长为的等边三角形,O为外接圆的圆心,则( )
A.-4 | B.4 | C.8 | D.12 |
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2022-11-05更新
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368次组卷
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3卷引用:高考新题型-平面向量及其应用
高考新题型-平面向量及其应用(已下线)重难点专题04 向量的数量积-2022-2023学年高一数学重难点题型分类必刷题(人教B版2019必修第三册)安徽省亳州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题