1 . 
个有次序的实数
所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中
称为该向量的第
个分量.特别地，对一个n维向量
，若
，
，称
为n维信号向量.设
，则和
的内积定义为
，且
.
(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(4)已知
个两两垂直的2024维信号向量
满足它们的前
个分量都是相同的，求证：
.
个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且.(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(4)已知
个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
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22-23高一下·北京丰台·期末
2 . 设非零向量
，
，并定义
(1)若
，求
；
(2)写出
之间的等量关系，并证明；
(3)若
，求证：集合
是有限集.
，，并定义(1)若
，求；(2)写出
之间的等量关系，并证明；(3)若
，求证：集合是有限集.
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名校
3 . 已知
为维向量，若
，则称
为可聚向量．对于可聚向量实施变换
：把
的某两个坐标
删除后，添加
作为最后一个坐标，得到一个
维新向量
，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量
，……，如此经过次变换后得到的向量记为
．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
(1)设
，直接写出的所有可能结果；
(2)求证：对于任意一个
维可聚向量，变换总可以进行次；
(3)设
，求的聚数的所有可能结果．
为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．(1)设
，直接写出的所有可能结果；(2)求证：对于任意一个
维可聚向量，变换总可以进行次；(3)设
，求的聚数的所有可能结果．
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22-23高一下·上海宝山·期末
名校
解题方法
4 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：
，双曲余弦函数：
.（e是自然对数的底数，
）.
(1)计算
的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：
______，并加以证明；
(3)若对任意
，关于
的方程
有解，求实数
的取值范围.
，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.(1)计算
的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：
______，并加以证明；(3)若对任意
，关于的方程有解，求实数的取值范围.
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2023-06-21更新
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922次组卷
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6卷引用：第10章 三角恒等变换单元综合能力测试卷-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）
（已下线）第10章 三角恒等变换单元综合能力测试卷-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）上海市闵行（文琦）中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）模块六 专题5 全真拔高模拟1（已下线）专题14 三角函数的图象与性质压轴题-【常考压轴题】山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题
20-21高一下·全国·课后作业
解题方法
5 . 已知向量
与向量
的对应关系可用
表示.
(1)证明:对于任意向量，及常数m，n，恒有
成立；
(2)设
，
，求向量
及
的坐标；
(3)求使
成立的向量
.
与向量的对应关系可用表示.(1)证明:对于任意向量
，及常数m，n，恒有成立；(2)设
，，求向量及的坐标；(3)求使
成立的向量.
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2023-04-13更新
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103次组卷
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3卷引用：6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
（已下线）6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路4.2平面向量及运算的坐标表示 课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第二章 4.2平面向量及运算的坐标表示-北师大版（2019）高中数学必修第二册
名校
6 . 对于三维向量
，定义“
变换”：
，其中，
．记
，
．
(1)若
，求
及
；(2)证明：对于任意
，经过若干次变换后，必存在
，使
；(3)已知
，将
再经过次变换后，
最小，求的最小值．
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2023-07-11更新
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1061次组卷
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3卷引用：广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
21-22高一下·上海奉贤·期末
解题方法
7 . 对于一个向量组
，令
，如果存在
，使得
，那么称
是该向量组的“好向量”
(1)若
是向量组
的“好向量”，且
，求实数的取值范围；
(2)已知
，
，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．
，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”(1)若
是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知
，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．
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名校
8 . 对于集合
和常数
，定义：
为集合
相对的“余弦方差”.
(1)若集合
，
，求集合相对的“余弦方差”；
(2)若集合
，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
(3)若集合
，
，
，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求
，
的值.
和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.(1)若集合
，，求集合相对的“余弦方差”；(2)若集合
，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；(3)若集合
，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值.
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2022-04-30更新
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478次组卷
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7卷引用：北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷
北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（已下线）第6章 三角（章节压轴题解题思路分析）-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）上海市奉贤中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题北京八中2021-2022学年高一下学期期中数学试题上海市金山中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）10.3 几个三角恒等式（分层练习）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）北京市第八中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
