1 . 设函数为定义在区间上的可导函数，记的导函数为，若对，都有或恒成立，则称为区间上的“原导同号函数”.
(1)证明：为上的“原导同号函数”；
(2)是否存在实数，使为上的“原导同号函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若为上的“原导同号函数”，证明：.

2 . 已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.

3 . 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，在直线的同侧，且点，到直线l的距离分别为，.
(1)若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；
(3)结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）.

4 . 设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）