1 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.

2 . 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦，是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.

3 . 设F₁，F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|>|PF₂|，求的值．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于
上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求的坐标；
（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，
求直线的方程.

5 . 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.

6 . 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.

7 . 已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.
（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设，，，求的值；
（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.

8 . 已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.
（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值.

9 . 已知抛物线
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为，若A的坐标在原点，求的值；
（2）请你给出一个以为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由