1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.

2 . 设抛物线的顶点到焦点的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线分别与抛物线交于，两点(不同于点)，以为直径的圆恰好经过点，证明：直线经过定点，并求出该定点坐标.

3 . 已知为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为4，四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1．证明：存在定点，使得为定值.

4 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.

5 . 如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.

（1）求椭圆的方程；
（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.

6 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.