1 . 过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于、两点．
（1）证明：、两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点是定直线上的任一点，设三条直线，，的斜率分别为，，，证明

2 . 已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)设，求在上的最大值；
(3)试证明：对任意的，不等式成立.

3 . 已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、,点关于轴的对称点（与不重合）,则直线与轴是否交于一定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论；若不是,请说明理由.

4 . 已知函数，.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）试讨论函数在区间上的最大值；
（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.